La suma más probable por rodar$2$ dice en$[100,111]$.

Question

Dado dos dices, los rodamos y agregamos el resultado a una suma (inicializada a 0) hasta que la suma es$\ge 100.$ La suma resultante puede ser cualquier número en [100 111]. Que entre ellos tienen la mayor probabilidad de ser la suma resultante.

Answer 1

Las probabilidades para las posibles final sumas son: $$ \begin{array}{cc} 100 & 0.1428571427 \\ 101 & \textbf{0.1428571428} \\ 102 & 0.1388888889 \\ 103 & 0.1309523810 \\ 104 & 0.1190476191 \\ 105 & 0.1031746032 \\ 106 & 0.08333333337 \\ 107 & 0.05952380953 \\ 108 & 0.03968253967 \\ 109 & 0.02380952379 \\ 110 & 0.01190476189 \\ 111 & 0.003968253964 \\ \end{array} $$ Por lo tanto, 101 tiene la probabilidad más alta por un margen muy pequeño.

Entonces, ¿cómo es esta calculada? Deje $a_k$ la probabilidad de que el número de $k$ aparece como una suma en algún momento en el juego. A continuación, $a_0=1, a_k=0$ $k<0,$ y $$ a_k = \frac{1}{36} \sum_{i=1}^6 \sum_{j=1}^6 a_{k-i-j} \cdot \chi_{n-i-j<100}, $$ donde $\chi_s$ es 1 si $s$ es verdadero y 0 en caso contrario.

He calculado que este usando Mathematica:

a[0] := 1

[n_] := 0 /; n < 0

[n_] := a[n] = Sum[Si[n - i - j < 100, a[n - i - j], 0], {i, 1, 6}, {j, 1, 6}]/36

También, se espera que el sum (esto no ha sido pedido) se acerca 103.41666666745046042. Esto puede ser calculado a partir de una similar recursividad.

Answer 2

El único morir versión de esta pregunta se analiza aquí: Probabilidad de que la suma de los dados mayor que 100

En mi papel de recurrencias Lineales a través de la probabilidad, American Mathematical Monthly 122, 386-389 (Abril De 2015), Considero que el general la versión de este juego. En particular, la ecuación (5) da la asintótica de golpear las probabilidades como el límite inferior (100 en este problema) se hace grande.

Para el 2 juego de dados, los asymptotics decir que $$\mathbb{P}(\mbox{juegos extremos en el estado }99+k)\aprox{\mathbb{P}(\xi\geq k)\\mathbb{E}(\xi)}, \mbox{ para }k=1,2,\dots, 12,$$ where $\xi$ es la suma de un par de dados. Estas probabilidades son $$1/7, 1/7, 5/36, 11/84, 5/42, 13/126, 1/12, 5/84, 5/126, 1/42, 1/84, 1/252,$$ o en forma decimal $$.1429, .1429, .1389, .1310, .1190, .1032, .08333, .05952, .03968, .02381, .01190, .003968.$$