funciones exponenciales de límite inferior

Question

Estoy luchando por entender los límites inferiores constantes para alguna forma especial de funciones exponenciales. Conozco el siguiente resultado: $\lim_{n\to \infty}(1-\frac{x}{n})^n = e^{-x}$ .

Pero, ¿cómo puedo obtener límites inferiores constantes como

$$\left(1-\frac{2^x}{10n}\right)^{\Large\frac{n}{2^x}} \ge 2^{-\large\frac{1}{10}}$$

o

$$\left(1-\frac{2^x}{10n}\right)^{\Large\frac{n}{2^{(x-1)}}} \ge 4^{-\large\frac{1}{5}}$$

Answer 1

He encontrado la siguiente estimación:

$4^{-x} \le 1-x \le 2^{-x}$

donde la primera desigualdad es válida para $0 \lt x \le \frac{1}{2}$ y el segundo para $0 \lt x \lt 1$ .

Con algunas reglas aritméticas básicas podemos obtener los límites que pide la pregunta.

(Para los demás también podría ser útil si alguien pudiera aportar una prueba)

Answer 2

Puedes encontrar el valor mínimo de la función que está a la izquierda en tu expresión

$$\left(1-\frac{2^x}{10n}\right)^{\Large\frac{n}{2^x}} \ge 2^{-\large\frac{1}{10}}$$

Recuerda que para encontrar el valor mínimo sólo tienes que encontrar la derivada e igualarla a 0