La función $f(x)=\int_1^x \sin(\sin(t)+\cos(t\sqrt{2})) \, dt$ parece limitada, así que la parcela en madera de arce y deduzco que $f$ siempre entre $-1$y $1$. He intentado probar buscando el max y min de esta función, pero esto no me ayuda en todo. ¿Tienes alguna idea de por qué limita $f$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Roger Hoover
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Tengamos en cuenta un par de cosas: la función de $\varphi(t) = \sin(t)+\cos(t\sqrt{2})$ no es periódica pero comparte muchas propiedades con trigonométricas polinomios: es acotado, es Lipschitz continua y tiene media cero, es decir,$\lim_{b\to +\infty}\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\varphi(t)\,dt=0$. Lo mismo sucede para cualquier extraño poder de $\varphi(t)$. Desde $\sin z$ es una extraña toda la función, $\sin z=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}$, tenemos:
$$ \int_{1}^{x}\sin\varphi(t)\,dt = \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\int_{1}^{x}\varphi(t)^{2n+1}\,dt. $$ De ello se desprende que, denotando como $M_n$ el siguiente supremum $$ M_n = \sup_{x\geq 1}\left|\int_{1}^{x}\varphi(t)^{2n+1}\,dt\right| $$ para demostrar la existencia de una absoluta constante $D>0$ tal que $M_n\leq D^n$ es suficiente para probar el acotamiento de la original de la función integral. Podemos observar que los puntos estacionarios de $\int_{1}^{x}\varphi(t)^{2n+1}\,dt$ ocurren en los ceros de $\varphi$, los cuales son fáciles de ceros, más o menos uniformemente distribuidos a lo largo de la línea real. En particular, la distancia entre un cero real de $\varphi$ y el siguiente no supera una absoluta constante $E>0$. El valor absoluto de a $\varphi$ está delimitado por $2$ en el intervalo entre cero y el siguiente, por lo tanto $M_n\leq E\cdot 2^{2n+1}$ y $$ \left|\int_{1}^{x}\sin\varphi(t)\,dt\right|\leq E\sinh(2),$$ que es un muy crudo, la desigualdad, pero prueba para asegurarse de que el boundednes de la LHS.
Con el fin de lograr el mejor de los límites, se puede considerar la serie de Fourier de $\widetilde{\varphi}^{2n+1}(t)$ donde $\widetilde{\varphi}(t)=\sin(t)+\cos\left(\tfrac{p}{q}t\right)$ $\frac{p}{q}$ es convergente de la continuación de la fracción de $\sqrt{2}=[1;2,2,2,\ldots]$, con la magnitud de $q$ ser elegido de acuerdo a la magnitud de $x$.
Las cosas se vuelven bastante más técnico, pero la idea principal sigue siendo el mismo.
