¿Cuál es la verdadera relación entre figuras imposibles y cohomología?

Question

Penrose papel En la cohomology de figuras imposibles me sugiere que no podemos llegar a una figura imposible en un contráctiles parte $Q$ de una hoja de papel de modo que se llena completamente, porque la primera cohomology grupo $H^1(Q,G)$ de un dominio es trivial (donde G es la ambigüedad del grupo de la figura) (ver también aquí) Todavía hace algunas, por ejemplo, esta (la foto está tomada de aquí):

¿Por qué es posible? Y lo que es el general, la verdadera relación entre la imposibilidad de figuras y cohomology? Cohomology de qué, si no de el dibujo de dominio?

Editar

Yo trato de hacer mi problema un poco más claro.

Aquí es una buena portada del disco sólido en el papel que contiene la imagen de lo imposible de la escalera.

$Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$ corresponden al abrir conjuntos de Penrose (sus áreas de superposición son el espesor radial de las líneas azules), mientras que $Q_4$, el disco sólido acotado por el círculo amarillo, es un conjunto abierto, que se superpone con cada uno de los otros $Q$-s. Os muestro el medio de la figura en grande:

Aquí $d_{ij}$ es sinónimo de la misma como en Penrose del papel. Creo, que tenemos algún problema con $d_{14}$, $d_{24}$ y $d_{34}$, pero no sé, lo que.

Answer 1

El dibujo de dominio de la mayoría de las figuras imposibles es un circulo o un anillo. La razón por la que estamos imposible es que no existe la "altura de la función" que cubre todo de él, incluso a pesar de que existe una "pendiente de la función".

En otras palabras, existe una función que parece que debería ser un derivado / degradado, pero no lo es. Eso es exactamente lo que no trivial cohomology es todo acerca de. Esto es imposible en un solo conectado dominio como todo el avión o un disco sólido, pero es muy posible en un círculo / el anillo.

Answer 2

Creo, no he entendido el rol de el anillo. Mi conclusión es que podemos dibujar una figura imposible en cualquier dominio de una hoja. El anillo (o no contráctiles conjunto abierto) no es una restricción. Es sólo una herramienta para probar la posibilidad de la imagen. La prueba es que el cocycle $d_{ij}$ descrito en Penrose en papel es un coboundary, o no. Es decir, la verdadera relación entre cohomology y las figuras imposibles, simplemente es la siguiente.

Un localmente realista de la figura a nivel mundial es imposible si y sólo si hay un no contráctiles abrir subconjunto de la dibujo de dominio en el que la cocycle $\{d_{ij}\}$ no es un coboundary.