suma de términos racionales en $\left(\sqrt{2}+\sqrt{27}+\sqrt{180}\right)^{10}$

Question

Encontrar una suma de los términos racionales en la siguiente expresión después de expandir completo. $$\left(\sqrt{2}+\sqrt{27}+\sqrt{180}\right)^{10}$$

Puesto que el término debe ser racional, cada poder debe ser uniforme.

Número de no negativos números enteros incluso $m,n,q$ satisfacer

¿$$m+n+q=10$$ gives number of triplets as $ 21 $..but its very tedious to find sum of $ 21$ términos... cualquier otro enfoque?

Answer 1

Tenga en cuenta que el grupo de Galois de $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$ $\mathbb{Q}$ es generado por tres automorphism: uno de los swaps $\sqrt{2}$$-\sqrt{2}$, otros swaps $\sqrt{3}$$-\sqrt{3}$, el último de los swaps $\sqrt{5}$$-\sqrt{5}$.

Deje $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ ser las órbitas de $(\sqrt{2}+3\sqrt{3}+6\sqrt{5})^2$ bajo la acción del grupo de Galois.

Tenga en cuenta que ${\alpha_1}^{5}+{\alpha_2}^{5}+{\alpha_3}^{5}+{\alpha_4}^{5}$ es un número racional, porque es fijado por los tres automorfismos de arriba. Su respuesta deseada es de $$ \frac{{\alpha_1}^{5}+{\alpha_2}^{5}+{\alpha_3}^{5}+{\alpha_4}^{5}}{4}$$ Si su perspicacia es lo suficientemente fuerte, puede también llegar a este resultado sin la teoría de Galois. También tenga en cuenta que $\alpha_i$ son raíces de la raíz del polinomio $$510082225 - 19503140 x + 219894 x^2 - 836 x^3 + x^4 = 0 $$ la aplicación Repetida de Netwton identidades da el valor de su suma.

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Como una alternativa, una relación de recurrencia puede ser usada para calcular $$S_n = {\alpha_1}^n + {\alpha_2}^n + {\alpha_2}^n + {\alpha_3}^n + {\alpha_4}^n$$ el cual es dado por $$510082225 S_n- 19503140 S_{n+1} + 219894 S_{n+2} - 836 S_{n+3} + S_{n+4} = 0 $$ válido para $n\geq 1$. Usted tiene que saber $S_1,S_2,S_3$ para obtener esta recurrencia en ejecución. Usted podría querer usar esto como una alternativa para calcular $S_5$ o $S_n$ superior $n$.

Answer 2

Que $a=\sqrt2$, $b=3\sqrt3$ y $c=6\sqrt5$.

Por lo tanto, el número necesario es $$\sum_{cyc}\left(a^{10}+\binom{10}{8}(a^8b^2+a^8c^2)+\binom{10}{6}(a^6b^4+a^6c^4)+\binom{10}{6,2,2}a^6b^2c^2+\binom{10}{4,4,2}a^4b^4c^2\right)=$ $ %#%, $ #% % $ $$=188971148939+45\cdot30539765574+210\cdot4912928964+$

Answer 3

Uso de teoría de Galois (como en ponencias de pisco125) y una calculadora de bolsillo, $$ \tag1\begin{align} (\sqrt 2+3\sqrt 3+12\sqrt5)^{10}&\approx 10377910865876.76\\ (\sqrt 2+3\sqrt 3-12\sqrt5)^{10}&\approx 213278054.90\\ (\sqrt 2-3\sqrt 3+12\sqrt5)^{10}&\approx 6890930010.35\\ (\sqrt 2-3\sqrt 3-12\sqrt5)^{10}&\approx 2263950893293.99\\ \end{align}$$ el promedio de estos cuatro números está muy cerca del entero $$3162241491809.$$ Strictly speaking, we should take the average of eight numbers, namely also those with a negative sign for $\sqrt 2$, pero debido al exponente incluso, necesitamos sólo la mitad de los sumandos de marcas de verificación. Como sabemos por la teoría de que la respuesta debe ser un número entero, sólo decente precisión es necesaria en el % de cómputos $(1)$.