Relación entre la derivada segunda de una función en un múltiple y su Hessian covariante

Question

Estoy interesado en cómo la covariante de Hess $\nabla^2 f :TM \oplus TM \to \mathbb{R}$ $f$ y la segunda derivada de $f$, $d(df):TTM \to \mathbb{R}$ están relacionados con una vez que nos la vista de $TTM = TM \oplus TM$ por la división inducida por $\nabla$ I se describe a continuación. Me interesé en este después de mirar en $C^2(M)$ como un espacio de Banach. La definición de la norma siempre se utiliza la covariante de Hess $\nabla^2f$ en lugar de la derivada segunda. En este sentido en el que es más fácil definir la norma, pero me parece extraño que necesitamos una conexión a definir el espacio, mientras que $C^1(M)$ puede ser definido sólo con $f$ $df$ (que sólo se necesita la suave estructura de M). Supongo que la necesidad de una métrica para luego definir la norma de $df$, lo que le daría una conexión, pero aún así todavía estoy interesado en la pregunta sobre su propia ahora.

Aquí están los detalles:

Deje $f:M \to \mathbb{R}$ ser una función suave en un colector $M$. Podemos considerar la derivada de $f$, $df:TM \to \mathbb{R}$ por $df(p,v) = df_p(v)$. Ahora, teniendo en cuenta $df$ como un mapa entre la suave colectores $TM$ $\mathbb{R}$ que puede tomar la derivada de nuevo para obtener una función de $d^2f: TTM \to \mathbb{R}$$d^2f((p,v),w) = d(df)_{(p,v)}(w)$. Tenga en cuenta que $d^2f$ no es el exterior, derivados de la forma $df$, lo que sería igual a cero.

Ahora, podemos dividir el doble de la tangente bundle $TTM$ como sigue: $\pi:TM \to M$ tenemos $d\pi : TTM \to TM$ y podemos definir $VTM = \ker d\pi$. Una selección de subespacio complementario $HTM$ tal que $TTM = VTM \oplus HTM$ es equivalente a(tipo de) para una conexión en $M$. Esto es debido a que $VTM \cong TM$ por el regular teorema del valor, por ejemplo. Así que si $\nu: VTM \oplus HTM \to VTM \cong TM$ es la proyección de la entonces podemos definir una conexión por $\nabla X = \nu \circ dX$ considerando los $X$ como una función de $X : M \to TM$. Así, por ejemplo, $\nabla_Y X = \nu(dX(Y))$. Tenemos una conexión en $M$.

Llegar a este punto, tenemos $HTM \cong TM$ y la restricción de $d\pi$ $HTM$da un isomorfismo $HTM \cong TM$. En consecuencia,$TTM \cong TM \oplus TM$. Por lo que podemos pensar de $d^2f$$d^2f : TM \oplus TM \to \mathbb{R}$.

Quiero saber la relación entre esta $d^2f:TM \oplus TM \to \mathbb{R}$ y el covariante de Hess $\nabla^2 f: TM \oplus TM \to \mathbb{R}$. Me imagino que la difieren de alguna manera por algo que ver con la curvatura de $\nabla$. Todos mis intentos en este han sido durante mucho tiempo calulations que conducen a ninguna parte, así que estoy ommiting lo he intentado. Gracias.

Answer 1

Comencemos por analizar el (exceso de) la notación en el post. Hesse $\nabla^2f$ $(0,2)$- tensor en $M$. En otras palabras, es un vector paquete de morfismos $TM\otimes TM\to\mathbb{R}$, o lo que es equivalente, un bilineal mapa de $TM\oplus TM\to\mathbb{R}$. Por supuesto, $TM$ aquí se considera como un vector paquete de más de $M$.

Por otro lado, la isomorphisms $VTM\cong TM$ $HTM\cong TM$ sólo tienen sentido cuando se $TM$ indica que el pullback de $TM$$TM$. Explícitamente, si $\pi:TM\to M$ denota la proyección, a continuación, $\pi^*TM$ es un vector paquete de más de $TM$, y por encima de dos isomorphisms sólo al $TM$ es reemplazado por $\pi^* TM$. Por lo tanto, cuando decimos $d(df)$ es un mapa de $TM\oplus TM\to\mathbb{R},$ no nos estamos refiriendo a la misma $TM$ como en el caso de Hess. En particular, los dos mapas no pueden ser los mismos, ya que no están definidos en los mismos espacios.

Sin embargo, lo anterior no significa que los dos mapas no están relacionados el uno al otro. Deje $p\in M$, y deje $v,w\in T_pM$. Extender $w$ a un campo de vectores $X_w$ en un barrio de $p$, de tal manera que $\nabla_vX_w|_p=0.$ ($\nabla$ puede ser cualquier conexión en $M$). Por definición, tenemos $$\nabla^2f(v,w)=v(df(X_w))-df(\nabla_vX_w)=v(df(X_w)).$$ Thinking of $df$ as a map $TM\to\mathbb{R}$, the expression on the right is the derivative of $df$ at the point $(p,w)\en TM$, in the horizontal direction over $v$. Using the notation of the post, this means that $$\nabla^2f(v,w)=d(df)_{(p,w)}(0,v).$$