Hiperbólico caso
En primer lugar, la combinatoria de los apuntados en la geometría hiperbólica también afecta al tamaño de las células. Así que me imagino un hiperbólico de abeja podría estar más interesado en tener aproximadamente la abeja de tamaño de las células, incluso si esto significa el uso de un poco más de cera. Pero esa es una pregunta para hiperbólico de la biología, así que de vuelta a la geometría.
La forma en que usted ha citado, sería minimizar la longitud de la línea por el número, que tiene una unidad de longitud restante. Así, el óptimo no es invariante bajo de la escala. Pero el video se menciona que las células deben tener unidad de área. Así que si usted tenía un panal con celdas de área de 9 metros de unidades de longitud, tendría que reducirlo con 3 unidades de longitud y, a continuación, empezar a medir el borde de longitudes. O en otras palabras, usted está minimizando el perímetro dividido por la raíz cuadrada de la zona cerrada. Usted puede también cuadrado de y minimizar el cuadrado de perímetro dividido por el área cerrada. Si usted se preocupa por números absolutos, en particular, la comparación de ellos con el límite de proceso que se describe en el vídeo, es posible que desee dividir el perímetro por dos, ya que cada pared es compartida por dos células adyacentes, por lo que la contribución de cada célula, es sólo la mitad de eso. Pero por el bien de encontrar el óptimo, no importa.
Vamos a considerar una regular hiperbólico mosaico de $n$-ágonos, $m$ de cumplimiento en cada esquina, con $\frac1m+\frac1n<\frac12$. ¿Cuál es su longitud de la arista? El hiperbólico de la ley de los cosenos para la curvatura $-1$ estados
$$\cosh a=\frac{\cos\alpha+\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma}$$
Ahora considere un triángulo rectángulo que cubre $1/2n$ de su celular. Ha $\alpha=\frac\pi n$ en el centro, $\beta=\frac\pi m$ en el vértice, y $\gamma=\frac\pi 2$ en el centro del borde de la celda. Esto lleva a
$$a=\operatorname{arcosh}\frac{\cos\frac\pi n}{\sin\frac\pi m}$$
El área de ese triángulo es igual al ángulo defecto:
$$A=\pi-\frac\pi n-\frac\pi m-\frac\pi 2=\pi\left(\frac12-\frac1n-\frac1m\right)$$
Ahora toda la célula está compuesta de $2n$ triángulos, de manera que el perímetro total es de $2na$ y el área total es de $2nA$. Por lo tanto el número a optimizar es
$$\frac{(2na)^2}{2nA}=\frac{2n\left(\operatorname{arcosh}\frac{\cos\frac\pi n}{\sin\frac\pi m}\right)^2}{\pi\left(\frac12-\frac1n-\frac1m\right)}$$
Ahora usted puede probar esto para algunos valores de $m$$n$:
$$\begin{array}{c|ccccccc}
n\backslash m & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\\hline
3 & & & & & 23.8496 & 26.7747 & 29.5759 \\
4 & & & 20.0136 & 23.7379 & 27.2316 & 30.5319 & 33.6653 \\
5 & & 17.9257 & 22.5929 & 26.8885 & 30.8947 & 34.6616 & 38.2245 \\
6 & & 19.8745 & 25.2172 & 30.1103 & 34.6579 & 38.9226 & 42.9479 \\
7 & \mathbf{15.0035} & 21.8342 & 27.8626 & 33.3653 & 38.4677 & 43.2445 & 47.7470 \\
8 & 16.1524 & 23.7997 & 30.5195 & 36.6382 & 42.3027 & 47.5994 & 52.5871 \\
9 & 17.3024 & 25.7687 & 33.1832 & 39.9220 & 46.1528 & 51.9740 & 57.4518
\end{array}$$
Resulta que el óptimo es el 7,3 mosaico: regular heptagons, tres de ellos de reunión en cada vértice. Este es también el mosaico con las células más pequeñas, así que si las células no son demasiado pequeñas para nuestro hiperbólica de las abejas, que debe recoger este. Para la comparación, la distancia Euclídea hexágono es en $8\sqrt3\approx13.8564$, la Euclidiana cuadrada en $16$. Así que hiperbólico heptagonal mosaico es aún mejor que la de Euclides 4,4.
![Rendering of the regular 7,3 tiling]()
Elíptica caso
También pidió la elíptica caso, y de ahí el enfoque es prácticamente el mismo. Utilice el esférico ley de los cosenos y el excedente de ángulo como una medida de la zona y se obtiene
\begin{gather*}
a = \arccos\frac{\cos\alpha-\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma}
= \arccos\frac{\cos\frac\pi n}{\sin\frac\pi m}
\\
A = \frac\pi m+\frac\pi n+\frac\pi 2-\pi = \pi\left(\frac1m+\frac1n-\frac12\right)
\\
\frac{(2na)^2}{2nA}=\frac{2n\left(\arccos\frac{\cos\frac\pi n}{\sin\frac\pi m}\right)^2}{\pi\left(\frac1n+\frac1m-\frac12\right)}
\end{reunir*}
Pero aquí los degenerados situaciones de ganar. Para $m=2$ obtendrá dos hemisferios no importa el valor de $n$, que ya es mejor que cualquier $m>2$. Para $m=1$ consigue una división por cero desde $\sin\frac\pi m=0$ en ese caso. Pero usted se puede imaginar que teniendo en cuenta la totalidad de la esfera de una sola célula es óptimo ya que no utiliza los muros.
