$\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2$ ¿son isomorfos como grupos?

Question

Utilizando el axioma de la elección, $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2$ son espacios vectoriales de igual dimensión sobre $\mathbb{Q}$ y por lo tanto son isomorfos como $\mathbb{Q}$ -espacios vectoriales, por lo tanto, como grupos.

Esto es obvio, sin embargo hace poco empecé a leer el libro de Godement Introducción a la teoría de grupos de Lie y en particular estaba leyendo el capítulo sobre grupos topológicos cuando me encontré con esta afirmación:

Dado un grupo $G$ hay como mucho una topología que lo convierte en un grupo topológico que es al mismo tiempo localmente compacto y contable hasta el infinito.

(No sé cómo traducir mejor "dénombrable à l'infini", significa $G$ es la unión de un número contable de conjuntos compactos)

Este es mi razonamiento: dejemos $\phi: \mathbb{R}\to \mathbb{R}^2$ sea un isomorfismo de grupo. En particular, es una biyección, por lo que se puede definir una topología $\mathcal{T}$ tal que $\phi$ es un homeomorfismo de $(\mathbb{R}, \mathcal{T})$ a $\mathbb{R}^2$ con la topología habitual.

Obviamente, $(\mathbb{R}, \mathcal{T})$ es localmente compacta y contable hasta el infinito.

Además, $+: \mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ y dejar que $add$ denotan la adición en $\mathbb{R}^2$ porque $\phi$ es un isomorfismo, obtenemos $+= \phi^{-1}\circ add \circ (\phi\times\phi)$ . Por lo tanto, como todos estos mapas son continuos (con respecto a la topología habitual en $\mathbb{R}^2$ y $\mathcal{T}$ en $\mathbb{R}$ ), por lo que es $+$ y de forma similar se obtiene que $x\mapsto -x$ es continua en $\mathbb{R}$ En $\mathcal{T}$ .

Pero entonces $(\mathbb{R}, \mathcal{T})$ es un grupo topológico localmente compacto que es contable hasta el infinito: según la afirmación de Godement $\mathcal{T}$ ¡es la topología habitual !

Esto lleva al absurdo de que $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2$ son homeomórficos, lo cual es trivialmente falso.

Estoy muy atascado en esto y no sé en qué me he equivocado. ¿Podría alguien resolver mi problema?

EDIT : como se sugiere en los comentarios, aquí hay un enlace a un archivo dropbox con la prueba en el libro de Godement : https://www.dropbox.com/sh/2gxg1jpbdmmcg23/AACP__txcn3o26cw-JR5W5Oea?dl=0 Perdón por la calidad de las fotos. Y está en francés.

Answer 1

Tienes razón, y la prueba de Godement es incorrecta. Su prueba procede dejando $G$ y $G'$ ser dos diferentes $\sigma$ -grupos localmente compactos con el mismo grupo subyacente, y considera la diagonal $D\subseteq G\times G'$ . A continuación, aplica un teorema sobre $\sigma$ -grupos localmente compactos a los mapas de proyección $D\to G$ y $D\to G'$ . El problema es que el teorema no se aplica, ya que $D$ no puede ser $\sigma$ -compacta o localmente compacta, ya que puede no ser cerrada en $G\times G'$ .

Esto es exactamente lo que ocurre en el caso de $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2$ La "diagonal" en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^2$ es el gráfico de un isomorfismo de grupo $\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ . Un isomorfismo de grupo $\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ es un mapa horrorosamente discontinuo, por lo que su gráfica es un subgrupo horroroso no cerrado de $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^2$ . (Prueba rápida de que el gráfico de un isomorfismo $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ no se puede cerrar: ya que $f$ no puede ser $\mathbb{R}$ -lineal, existe $x\in \mathbb{R}$ tal que $f(x)\neq xf(1)$ . Pero $f(q)=qf(1)$ para todos $q\in\mathbb{Q}$ por lo que al aproximar $x$ por racionales, encontramos que $(x,xf(1))$ está en el cierre del gráfico de $f$ .)