Existencia de homomorfismo para que el diagrama conmute

Question

Dejemos que $G, H$ sean grupos y que $\phi: G \to H, \psi: G \to K$ sea un homomorfismo tal que $\ker \phi \subseteq \ker \psi.$ Demostrar que existe un homomorfismo $\theta: H\to K$ tal que $\theta\circ\phi = \psi.$

Obviamente se puede encontrar un homomorfismo $\theta$ en $\phi(G)$ que satisface las propiedades, pero no veo por qué podemos extender esto a $H,$ si es que podemos.

Editar: Si alguien puede aportar un contraejemplo, también se agradecería. Sinceramente, no creo que la afirmación sea cierta tal y como está...

Answer 1

Aquí debería haber un contraejemplo: Sea $G, H, K = \mathbb{Z}$ . Definir $\phi, \psi$ para ser multiplicado por 4, 2, respectivamente. Entonces no puede haber ningún mapa $\theta : H \to K$ que satisfaga esa propiedad, ya que tendríamos que tener $\theta(1) = \frac{1}{2}$ .