Evaluación de la
$$\lim_{n\to\infty} \int_0^1 \frac{e^{\displaystyle x^{n}}}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$$
SIS.
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Idea básica:
$$ \lim_{n\to\infty}\int_0^1 \frac{e^{\displaystyle x^{n}}}{1+x^2}\,\mathrm{d}x = \int_0^1 \lim_{n\to\infty}\frac{e^{\displaystyle x^{n}}}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$$ $$= \int_0^1 \frac{\lim_{n\to\infty}e^{\displaystyle x^{n}}}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$$ $$= \int_0^1 \frac{e^{\displaystyle \lim_{n\to\infty}x^{n}}}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$$ $$= \int_0^1 \frac{e^{\displaystyle 0}}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$$ $$= \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$$ $$ = {\pi \over 4}$$ En cada paso, pero la primera es inmediata o se sigue de la continuidad de una función adecuada. La primera es bastante estándar (pero no para los estudiantes de escuela secundaria), ya que el integrands disminución en el $n$. Una manera de demostrar rigurosamente consiste en romper el dominio de integración en $[0,1-\epsilon]$ $[\epsilon,1]$ partes. La segunda parte da un integrante menos de $\epsilon$ todos los $n$, y el integrands en la segunda converge uniformemente (lo sé, no es de alto nivel de la escuela, pero aún) a ${1 \over 1 + x^2}$.
jlupolt
Puntos
369
Me puede faltar algo, pero el integral está delimitado por: %#% $ de #% creo que esto es suficiente para intercambiar el límite con la integral por el dominado Teorema de convergencia, al llegar a: $$\int_0^1\frac{e}{1+x^2}dx > \int_0^1\frac{e^{x^n}}{1+x^2}dx > \int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx$ $
