Límite de ${n^2 \choose n}/{n^2+n-1 \choose n}$

Question

Estoy tratando de resolver

$$\lim_{n \to \infty} \frac{{n^2 \choose n}}{{n^2+n-1 \choose n}}.$$

Numéricamente parece ser aproximadamente $0.377$ . ¿Es posible obtener una respuesta exacta?

Answer 1

Lo tenemos como $n\to+\infty$ , $$\ln\left(\frac{{n^2 \choose n}}{{n^2+n-1 \choose n}}\right)= \ln\left(\frac{\prod_{k=1}^{n-1}\left(1-\frac{k}{n^2}\right)}{\prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{k}{n^2}\right)}\right) =\sum_{k=1}^{n-1}\ln\left(1-\frac{k}{n^2}\right)-\sum_{k=1}^{n-1}\ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right)\\ = -\frac{2}{n^2}\sum_{k=1}^{n-1}k+o(1)=-\frac{n(n-1)}{n^2}\to -1$$ donde utilizamos el hecho de que $\ln(1+t)=t+o(t)$ como $t\to 0$ .

Por lo tanto, el límite requerido es $e^{-1}$ .

Answer 2

Dejemos que $f(n)=\binom {n^2}{n}/\binom {n^2+n-1}{n}.$ Para $n>0$ tenemos $$ f(n)=\left(n!^{-1}\prod_{j=0}^{n-1}(n^2-j)\right)/\left(n!^{-1}\prod_{j=0}^{n-1}(n^2+n-1-j\right)=$$ $$ =\prod_{j=0}^{n-1}(n^2-j)/(n^2+n-1-j)=$$ $$=\prod_{j=0}^{n-1}\left(1+\frac {n-1}{n^2+n-1-j}\right)^{-1}.$$ Por lo tanto, para $n>1$ el valor de $f(n)$ está entre $$\left(1+\frac {n-1}{n^2+n-1}\right)^{-n}$$ $$\text {and }\quad \left(1+\frac {n-1}{n^2}\right)^{-n}.$$ Desde $(1+1/n)^{-n}=e^{-1}(1+O(n^{-2}))$ como $n\to \infty$ se demuestra fácilmente que los límites superior e inferior (anteriores) para $f(n)$ ambos convergen a $e^{-1}.$

Answer 3

Utilice la siguiente fórmula famosa de Stirling: Dado $x>0$ $$ \lim_{x\to +\infty} \frac{\Gamma(x+1)}{\left(\frac{x}{e}\right)^x \sqrt{2x} }=\sqrt{\pi}. $$ Dónde $\Gamma$ es la función bGamma de Euler y $n! =\Gamma(n+1)$ para $n\in \mathbb{N}$