Supongamos que $a$, $b$ y $c$ son las longitudes de los lados de un triángulo y $R$ y $r$ su circunradio y inradius respectivamente. ¿Cómo puede uno demostrar la siguiente desigualdad? $$2r^2+8Rr \leq \frac{a^2+b^2+c^2}{2}$$
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Sabemos que $$\begin{align*} a+b+c&=2s,\\ ab+bc+ca&=s^2+r^2+4rR, \end{align*}$$ donde $s$ es semiperimeter, $r$ es inradius y $R$ es el circunradio; véase por ejemplo, Manfrino, Ortega, Delgado - Desigualdades: Una Olimpiada Matemática Enfoque, la Sección 2.5.
El uso de estas desigualdades, podemos reescribir la LHS, como $$ \begin{align*} 2(r^2+4rR) &= 2(ab+bc+ca-s^2) \\ &= 2(ab+bc+ca)-\frac{(a+b+c)^2}2 \\ &= ab+bc+ca-\frac{a^2+b^2+c^2}2. \end{align*}$$
Después de esto la desigualdad que queremos probar convierte en $$ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2,$$ que sigue fácilmente de AM-GM de la desigualdad. (Sólo tiene que añadir las desigualdades $ab\le \frac{a^2+b^2}2$, $ac\le \frac{a^2+c^2}2$ y $bc\le \frac{b^2+c^2}2$. ) Ver también esta pregunta para obtener más pruebas de la última desigualdad.
En aras de la exhaustividad, me deja copiar aquí las pruebas de estas igualdades dadas en el libro que he mencionado anteriormente. (Espero que en un corto extracto todavía califica como "fair use". Traté de encontrar una prueba de ellos en línea, pero no lo he conseguido.)
$$ \begin{align*} a + b + c &= 2s, \tag{2.5}\\ ab + bc + ca &= s^2 + r^2 + 4rR, \tag{2.6}\\ abc &= 4Rrs. \tag{2.7} \end{align*} $$ La primera es la definición de $s$ y la tercera se sigue del hecho de que el área de el triángulo es $\frac{abc}{4R}=rs$. Utilizando la fórmula de Herón para el área de un triángulo, tenemos la relación de $s(s - a)(s - b)(s - c) = r^2s^2$, por lo tanto $$s^3 - (a + b + c)s^2 + (ab + bc + ca)s - abc = r^2s.$$ Si sustituimos $(2.5)$ $(2.7)$ en esta igualdad, después de simplificar obtenemos que $$ ab + bc + ca = s^2 + r^2 + 4Rr.$$
Mike
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11
Considere el triángulo formado por el circuncentro $O$,$A$, y $B$. Usando la ley de cosenos en el ángulo de $\alpha$ formado por $OA$ $OB$ obtenemos, donde $R$ es el circunradio:
$$a^2=2R^2-2R^2\cos \alpha\Rightarrow \frac{a^2}{2}=R^2-R^2\cos \alpha$$
Claramente, de forma análoga identidades presionado por los otros dos lados, por lo que la sustitución de estos en el lado derecho de la desigualdad, ahora queremos probar
$$R^2(3-\cos\alpha-\cos\beta-\cos\gamma)\ge 2r^2+8Rr$$
No es difícil ver (ejercicio de izquierda a reader) $-\cos\alpha-\cos\beta-\cos\gamma\ge 1$ para todos los ángulos en el dominio del problema, porque la $\alpha+\gamma+\beta=2\pi$, y todos ellos están entre los $0$$\pi$. Así que vamos a probar el más fuerte de la desigualdad
$$4R^2\ge2r^2+8Rr\Rightarrow 2R^2\ge r^2+4Rr$$
Esto es equivalente a $$6R^2\ge r^2 + 4Rr +4R^2=(r+2R)^2$$
Por lo que queda de demostrar a $\sqrt 6 R\ge r+ 2R$. Por desgracia, esto no es cierto en general. En general, sólo tenemos $2R\ge r$, que no es lo suficientemente fuerte. Pero en los casos en los que la contribución para el coeficiente en el lado izquierdo de la suma de los cosenos es lo suficientemente pequeño que el de Euler, la desigualdad no se aplica, en uno de los ángulos es muy, muy pequeño, el triángulo se vuelve muy flaco, y $r$ es claramente lo suficientemente pequeño para que la desigualdad se cumple.
