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Demostrar que no hay solución en términos de funciones elementales de $y'=x^2+y^2$

He visto antes de que

$$y'=x^2+y^2$$

No tiene solución en términos de funciones elementales. He escrito en Wolfram Alpha (aquí) y tiene un gigante de la solución con un montón de funciones de Bessel que yo no entendía. Esta ecuación es casi como una ecuación de Ricatti, pero no exactamente, por lo que puede ser una idea que se adquirieron. De nuevo, mi pregunta es:

¿Cómo se puede demostrar que esta ecuación diferencial no tiene solución en términos de funciones elementales?

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Dennis Puntos 9534

Esto es un caso particular de la ecuación de Riccati.

Set$\displaystyle y=-\frac{f'}{f}$,$\displaystyle y'=-\frac{f''}{f}+\frac{f'^2}{f^2}$, por lo que la ecuación de $f$ está dado por $$f''+x^2f=0.$$ Este es lineal y la solución en términos de funciones de Bessel: $$f(x)=C_+\sqrt{x}\,J_{\frac14}\left(\frac{x^2}{2}\right)+C_-\sqrt{x}\,J_{-\frac14}\left(\frac{x^2}{2}\right).$$ La respuesta dada por Wolfram Alpha no es sino la derivada logarítmica de esta fórmula. Tenga en cuenta que sólo la relación $C_{+}/C_-$ aparecerá en la expresión de $y$, proporcionando la integración constante de la inicial 1er orden de la ecuación.


Funciones de Bessel $J_{\pm\frac14}(z)$ también se pueden expresar en términos de funciones de cilindro parabólico como se indica aquí, pero no simplificar aún más.

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