¿Es posible tener $a^2 + b^2 = c^2 + 1$ $a$, $b$, $c$ ser enteros coprimos?

Question

Como se indicó anteriormente. Estoy trabajando en una posible prueba. Parece %#% $ #% que es donde estoy atrapado. ¿Cualquier ayuda por favor? Desea una prueba clara y sencilla, gracias!

Answer 1

$7^2+11^2=13^2+1$
Todos tienen que ser impar, de lo contrario dos incluso no coprime.
Buscar valores $c^2+1$ que $(c^2+1)/2$ es compuesto. Siempre habrá otro $a^2+b^2=c^2+1$

Answer 2

Todos los números cuyos divisores primer son de la forma $4k+1$ pueden ser escrito como la suma de dos cuadrados de coprimos. Seguramente, si tomamos $c=2^m$, cada divisor principal $p$ $c^2+1=4^m+1$ es de la forma $4k+1$, porque implica $$4^m+1\equiv 0\pmod{p}$ $:$$ -1\equiv (2^m)^2,\pmod{p} por lo tanto $-1$ es una plaza $\pmod{p}$. Por otra parte, si $4^m+1$ no es un primo, se puede escribir como suma de dos cuadrados de coprimos en al menos tres diferentes plazas. Así que tenemos una solución para cada $c=8^n$, por ejemplo: $$4^2+7^2 = 8^2+1, $ $$$ 31^2+56^2 = 64^2+1, $$ \ldots

Answer 3

SUGERENCIA:

Usando la identidad de Brahmagupta-Fibonacci

$$(ab+cd)^2+(ad-bc)^2=(ab-cd)^2+(ad+bc)^2$$

Conjunto de $ad-bc=\pm1\implies (ad,bc)=1\implies(a,b)=(a,c)=(c,d)=(b,d)=1$

Elegir % arbitrario $a,b$que $(a,b)=1;$ a continuación, utilice el método descrito en mi respuesta aquí: resolver una congruencia lineal para determinar $c,d$