¿Cómo puedo evaluar $\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{5-x}-2}{\sqrt{2-x}-1}$ sin invocar la regla de l'Hôpital?

Question

En la clínica de matemáticas en la que trabajo, alguien en una clase de Cálculo 1 pidió ayuda con este problema de límites. Todavía no han cubierto las técnicas básicas de diferenciación, y mucho menos la regla de l'Hôpital.

$$\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{5-x}-2}{\sqrt{2-x}-1}$$

Hemos probado varias técnicas algebraicas, como multiplicar la parte superior e inferior de la fracción por el conjugado del denominador, pero no hemos tenido éxito a la hora de eliminar la forma indeterminada.

¿Cómo puede resolverse este límite, utilizando únicamente las técnicas de las que dispondría un estudiante principiante de Cálculo 1?

Answer 1

$$\begin{align} & \hphantom{=} \lim_{x\to1}\frac{\sqrt{5-x}-2}{\sqrt{2-x}-1} \\ & = \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{5-x}-2}{\sqrt{2-x}-1}\frac{\sqrt{2-x}+1}{\sqrt{2-x}+1} \\ & = \lim_{x\to 1} \frac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{2-x}+1)}{1-x} \\ & = \lim_{x\to 1} \frac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{2-x}+1)}{1-x}\frac{\sqrt{5-x}+2}{\sqrt{5-x}+2} \\ & = \lim_{x\to 1} \frac{(1-x)(\sqrt{2-x}+1)}{1-x}\frac{1}{\sqrt{5-x}+2} \\ & = \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{2-x}+1}{\sqrt{5-x}+2} \\ & = \frac{1}{2} \end{align}$$

En caso de duda, multiplique por el "conjugado".

Answer 2

$$\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{5-x}-2}{\sqrt{2-x}-1} = \lim_{x\to1}\frac{\frac{\sqrt{5-x}-2}{1-x}}{\frac{\sqrt{2-x}-1}{1-x}}$$ $$= \lim_{x\to1}\frac{\frac{\sqrt{5-x}-2}{5-x-4}}{\frac{\sqrt{2-x}-1}{2-x-1}}= \lim_{x\to1}\frac{\frac{\sqrt{5-x}-2}{(\sqrt{5-x}-{2})*(\sqrt{5-x}+{2})}}{\frac{\sqrt{2-x}-1}{{(\sqrt{1-x}-{1})*(\sqrt{2-x}+{1})}}}=\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{2-x}+1}{\sqrt{5-x}+2}=\frac{1}{2} $$