He aquí algunas ideas, que son demasiado largas para un comentario. Creo que no funciona completamente, pero tal vez otros puedan arreglarlo. Desde $S_n$ es una martingala, ha $\mathbb{E}S_n = \mathbb{E}S_1 = \mathbb{E}X_1$ todos los $n\geq 1$. La aplicación de este en el caso particular $n=2$, obtenemos $\mathbb{E}X_1+\mathbb{E}X_2=\mathbb{E}S_2=\mathbb{E}X_1$, y por lo $\mathbb{E}X_2=0$. Del mismo modo, $\mathbb{E}X_n=0$ todos los $n\geq 2$. No sabemos si $\mathbb{E}X_1=0$ o no.
La probabilidad de que usted considere es equivalente a $P(|S_n|>n\epsilon)$. Tenemos $|S_n| = |S_n-\mathbb{E}S_n+\mathbb{E}S_n|\leq |S_n-\mathbb{E}S_n|+|\mathbb{E}S_n|=|S_n-\mathbb{E}S_n|+|\mathbb{E}X_1|$.
Por lo tanto $P(|S_n|> n\epsilon)\leq P(|S_n-\mathbb{E}S_n|>n\epsilon-|\mathbb{E}X_1|)\leq P(|S_n-\mathbb{E}S_n|\geq n\epsilon-|\mathbb{E}X_1|)$. El lado derecho de la última probabilidad será positivo para $n$ lo suficientemente grande.
Usted mismo escribe que
$$\text{Var}S_n = \mathbb{E}[S_n^2]-\mathbb{E}[S_n]^2 = \sum_{k=1}^n\mathbb{E}[X_k^2] - \mathbb{E}[X_1]^2.$$
El uso de la enlazado $\mathbb{E}[X_k^2]\leq k<\infty$ todos los $k\geq 1$, puedo enlazado esta variación por
$$\text{Var}[S_n] \leq \sum_{k=1}^n k - \mathbb{E}[X_1]^2=\frac{n(n+1)}{2}-\mathbb{E}[X_1]^2.$$
Ahora me gustaría aplicar la desigualdad de Chebyshev para la probabilidad de $P(|S_n-\mathbb{E}S_n|\geq n\epsilon-|\mathbb{E}X_1|)$, pero no parece que me da un fuerte suficiente obligado.
