duda en múltiple con límite, punto crítico, el espacio de chorros etcetera

Question

podría cualquiera me explique el siguiente párrafo con un ejemplo sencillo?

"un manifold con frontera se entiende como una suave (real o complejo) colector con un suave hipersuperficie. Dos funciones en un manifold con frontera se llaman equivalentes si uno va a la otros bajo un diffeomorphism de los múltiples que tiene el límite en sí. En el límite consideramos un distinguido punto O. El grupo de gérmenes de diffeomorphisms de un manifold con frontera en un distinguido punto de que mantener el límite fijo de actos en los espacios de gérmenes y chorros de funciones en el distinguido punto de que este es un punto crítico con el valor crítico de cero"

Yo sé lo que es el colector con límites, pero nunca vi una definición o un comentario como el autor dice en 1ª línea, así que no me siento nada de la primera paragrgaph, pero estoy seguro de que si alguno de dar ejemplo y me dice que puedo entender.

Yo sé lo que es puntos críticos, como dice $f:N\rightarrow M$ ser un smoothh mapa, un punto de $p\in N$ se dice que es un punto crítico de $f$ si el diferencial $$f_{*,p}:T_p\rightarrow T_{f(p)}M$$ fails to be surjective and I also know one result for a real valued funtion $f:M\rightarrow \mathbb{R}$, a pt. $p\in M$ is critical iff relative to some chart $(U,x_1,\dots,x_n)$ containing $p$ all the partial derivatives $$\frac{\partial f}{\partial x_i}(p)=0$$

hay también algún tipo especial de grupo y su acción se menciona aquí, yo no podía entender que también. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Tomemos primero el ejemplo de la plaza.

La plaza puede ser dada una estructura de suave múltiples : tomar un homeomorphism desde la plaza, el círculo y la suavidad de la estructura del círculo da la vuelta una suave estructura de la plaza.

Pero bueno, en mi mente plaza tiene rincones ! Ok entonces tenemos dos posibilidades : la primera de ellas, es decir, me voy a dar un emdedding de 4 puntos a la plaza (nuestro suave colector) para precisar lo que yo considero como las esquinas. Con este método se pueden transformar un círculo en un triángulo, un cuadrado, etc.

El segundo método es para decir que el círculo tiene los gráficos de a $\mathbb R$ y el cuadrado tienen los gráficos a $\mathbb R_+$. En cualquiera de los casos, usted elige cómo quiere describir el espacio topológico.

Entonces usted necesita para entender lo que es un germen . Tomemos $p \in M$ a un punto, y $f : M \to \mathbb R$ una función suave. El germen de $f$ $p$ es la clase de equivalencia de a $f$ por la relación : $f \sim_p g$ si y solo si existe un conjunto abierto $U$ $p$ tal que $f_{|U} = g_{|U}$.

Ejemplo : tomar un holomorphic mapa de $f$$\mathbb C$,$z \in \mathbb C$, podemos escribir $f(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + ... + a_n z^n + ...$ que es el poder de la serie de $f$ a cero. A continuación, el germen de $f$ $0$ puede ser identificado como la secuencia de $a_0, a_1, ...$ es importante tomar algún tiempo para ver por qué.

En el caso de las funciones lisas, hay muchas más clases de funciones alrededor de un punto dado (i.e gérmenes), y no tenemos una buena descripción.

Ahora su texto está diciendo : tome $M$ $N$ dos liso colectores con una incrustación $N \to M$. Tomar un punto de $p\in N$. Y mirar todos los gérmenes a $p$ funciones $\phi$ tal que $\phi : M \to M$ es un difféomorphism y $\phi_{|N} = Id_N$. Como el conjunto de diffeomorphisms (vamos a llamar a $\mathrm{Diff}_N(M)$) es un grupo (por su composición), entonces el conjunto de los gérmenes de los elementos de $\mathrm{Diff}_N(M)$ $p$ (vamos a llamar a $\mathrm{Diff}_N(M)_p$) también serán un grupo. Es una buena cosa para comprobar que.

Finalmente, se establece que este grupo de $\mathrm{Diff}_N(M)_p$ actúa sobre un subconjunto especial de $\mathcal C^{\infty}(M)_p$ el conjunto de todos los gérmenes de las funciones lisas en $p$. Es el subconjunto de gérmenes en el $p$ funciones $f : M \to \mathbb R$ tal que $f(p) = 0$$df_p = 0$. Esta acción es por la composición. No es difícil hacer los detalles.