Prueba que si $a$ es coprimo a $n$ $R = \mathbb{Z}/(n)$, $a$ es una unidad de

Question

Prueba que si $a$ es coprimo a $n$ $R = \mathbb{Z}/(n)$, $a$ es una unidad de

Que $a \in R$ $n$ ser coprimos.

Entonces $gcd(a, n) = 1$

$\implies a\nmid n$

Que $b \in R$.

Ahora como $a \nmid n$ tenemos que $ba \neq 0$

Es decir, $ba \in \{1,...,n-1\}$

Es decir, ba finalmente 'golpeará' todos los números en $\{1, 2, ...n-1\}$, y en particular para algún valor de $b$ conseguiremos que $ba = 1$.

Answer 1

La prueba está mal.

• Deducen todo, desde la instrucción $a \not\mid n$. Esto es intuitivamente incorrecto: por ejemplo $4 \not\mid 6$, pero 4 no es una unidad en $\mathbb{Z}/(6)$.
• A pesar de que $a \not\mid n$, es posible que haya un $b$ tal que $ba = 0$ $\mathbb{Z}/(n)$. Por ejemplo, $3 \cdot 4 = 12 \equiv 0 \pmod{6}$.
• ¿Cómo probar que $ba$ eventualmente afectará a todos los números en $\{1,...,n-1\}$?

La mejor manera de demostrar este hecho es Teorema de Bezout.

Answer 2

Su enfoque no funciona bien. Tomar $n=12$ y $a=9$. $9\nmid 12$ $9\cdot 4\equiv 0$.

Si $\gcd(a,n)=1$, encontrarás, $x$ $y$ que $ax+ny=1$ (¿por qué?).

Ahora reducir la ecuación modulo $n$. Ves que $\bar a\bar x+\bar 0=1$. Así $\bar x$ es una inversa $\bar a$ $\mathbb Z/(n)$.

Answer 3

No responder a una pregunta con otra pregunta, pero:

¿Qué pasa con el viejo vio que $\gcd(a, n) = 1$ implica que existen $c, d \in \Bbb Z$ $ac + dn =1$ dónde, reducción de $\mod n$, tenemos $ac = 1$ $R$, $a$ es una unidad en $R$?

Hmmm... Supongo que es el enfoque de la identidad de Bezout... acabo de comprobar hacia fuera el comentario de robjohn.

Espero que esto ayude. Cheerio,

y como siempre,

¡Fiat Lux!