Problema: Demostrar que para las diferentes opciones de signos $+$ $-$ la expresión $$\pm1\pm2\pm3\pm4\pm5...\pm(4n+1)$$ yields all odd positive integers less than or equal to $(2n+1)(4n+1).$
Mi Intento: Vamos a $n=1$, entonces tenemos la siguiente expresión para el trabajo con $$\pm1\pm2\pm3\pm4\pm5.$$ Deje $+$ ser representado por $0$ $-$ ser representado por $1.$ Una cadena binaria de longitud $5$ por lo tanto, representa la permutación de las operaciones. Por lo $$+1+2+3+4+5\text{ is equivalent to }00000$$ $$+1-2+3+4+5\text{ is equivalent to }01000$$ y así sucesivamente. Con esta representación se observa que: $$15=00000$$ $$13=10000$$ $$11=01000$$ $$9=00100$$ $$7=00010$$ $$5=00001$$ $$3=10001$$ $$1=01001.$$ Observe cómo $1$ atraviesa en cada número. Ignorando el caso trivial cuando el número impar es igual a $(2n+1)(4n+1)$ (que en este caso es $15$) observamos que hay $4*1+1$ números que pueden escribirse con sólo una $1$ desde el numeral $1$ $4*1+1$ lugares para mover en. El resto de los lugares $$\frac{1*(1+3)}{2}=2$$ require a two $1$s.
Esta observación motiva la siguiente Prueba: Dado cualquier $n\geq 1$ nos encontramos con $4n+1.$, Luego tenemos a $4n^2+3n$ números impares que son estrictamente menor que $(2n+1)(4n+1).$ Deje $a_i$ indican estos números impares donde $1\leq i\leq 4n^2+3n$ $a_1<a_2<....<a_{4n^2+3n}.$ comenzamos cubriendo los últimos $4n+1$ números impares por escrito $$a_{4n^2+3n}=\underbrace{1000000...0}_{4n+1}=8n^2+6n-1$$ $$..$$ $$a_{4n^2+3n-(4n)}=00000...1=8n^2+2n+1$$ $$a_{4n^2+3n-(4n+1)}=\underbrace{10000...1}_{4n+1}=8n^2+2n-1$$ $$..$$ y así sucesivamente. Esencialmente $4n^2+3n=(4n+1)+(4n)+(4n-1)+(4n-2)+...+(4n-(n-1))+\underbrace{\frac{n(3+n)}{2}}_{\text{need }n+1\text{ 1s}}=4n^2+3n.$
Ahora no sé cómo compilar estas observaciones en una prueba formal. Lo que prueba la técnica sería el más adecuado en este escenario, tal vez la inducción? Por otra parte, debo inclucde Lemas sobre el cero y el uno preparativos?
