$\newcommand{\P}{\mathbb{P}}$ ¿Es válido interpretar $\P(B|A)$ como "probabilidad infinita" cuando $\P(A) = 0$ ?
Sin embargo, ¿la probabilidad puede ser negativa?
Respuestas
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Dipstick
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No. En primer lugar, la probabilidad está limitada en $[0, 1]$ por lo que no puede ser infinito.
Observa que hay dos casos en los que la probabilidad puede ser igual a cero:
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Cuando se trata de un conjunto vacío $\Pr(\varnothing)=0$ . Así, por ejemplo, si pregunta "¿cuál es la probabilidad de que una persona de -31 años muera en un accidente de coche?" Entonces es imposible responder a esa pregunta, ya que la edad negativa es una imposibilidad, por lo que la respuesta a esa pregunta es indefinida y, básicamente, la pregunta no tiene sentido. Esto era señalado por Kolmogorov
el concepto de probabilidad condicional hipótesis cuya probabilidad es igual a 0 es inadmisible
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Por otra parte, como señala Dilip Sarwate en el comentario a este hilo y en la siguiente respuesta por 40 votos en el caso de variables aleatorias continuas (donde $\Pr(X=x)=0$ para todos $x$ 's ) aproximándola mediante límites, es decir, condicionándola a densidades de probabilidad .
Compruebe el referido Probabilidad, condicionada a un suceso de probabilidad cero hilo sobre math.stackexchange.com que lo describe con más detalle.
JeremyP
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136
No (no existe la probabilidad infinita: un acontecimiento determinado tiene probabilidad 1).
De hecho, si se trata de la probabilidad de un suceso (y no de una variable aleatoria continua), entonces es un problema mal planteado: si $P(A)=0$ ¿cuál es la probabilidad de $B$ dado que $A$ ¿Sucedió?
$P(B|A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}=\frac{0}{0}$
Así que creo que debería considerarse indeterminado. (Nótese que la definición de probabilidad condicional sólo se aplica cuando la probabilidad del suceso condicionante es distinta de cero, $P(A)\ne0$ .)
Es diferente si se trata de la probabilidad de que una variable aleatoria continua asuma un valor determinado. Véanse los comentarios a esta pregunta (al que ya se han referido las demás respuestas).
luxiburg
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11
Que yo sepa (clase de estocástica y búsqueda rápida en wikipedia), la probabilidad condicional P(B|A) no está definida para P(A)=0. ( regla de Bayes )
donde A y B son sucesos y P(B) ≠ 0.
Así que yo diría que no, que no es válido.
Pero si P(A) = 0 entonces las variables son independientes de todos modos ..
2 votos
No, porque el Teorema de Bayes se aplica cuando $P(A) > 0$ . Si $P(A) = 0$ entonces $B$ es independiente de $A$ Por lo tanto $P(B) = P(B)$ .
2 votos
Las probabilidades condicionales (como todas las probabilidades) deben estar en el intervalo $[0,1]$ por lo que no puede ser infinita. Su ejemplo puede o no estar bien definido: supongamos $X \sim N(0,1)$ y $Y =X^2$ y considerar las probabilidades condicionales $P(Y=-3 \mid X=1)$ y $P(X=1 \mid Y=-3)$ el primero es cero mientras que el segundo no está bien definido aunque ambos acontecimientos $X=1$ y $Y=-3$ tienen probabilidad cero.
0 votos
Probabilidad negativa y Probabilidades negativas en la modelización financiera