Pruebalo $k(\alpha+\beta)=k(\alpha,\beta)$

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Deje $k$ ser un campo finito y deje $k(\alpha,\beta)/k$ ser finito. Si $k(\alpha)\cap k(\beta)=k$, demuestran que, a $k(\alpha,\beta)=k(\alpha+\beta)$.

Lo que ya sabemos:

1. $k(\alpha+\beta)\subset k(\alpha,\beta)$
2. $k(\alpha,\beta)/k$ es una extensión de Galois.
3. $[k(\alpha,\beta):k]=[k(\alpha):k][k(\beta):k]$.

Algunos pensamientos en mente:

1. Demostrar que $\alpha\in k(\alpha+\beta)$ o $\beta\in k(\alpha+\beta)$.
2. Demostrar que $[k(\alpha,\beta):k(\alpha+\beta)]=1$
3. Tratar de expresar $[k(\alpha+\beta):k]$ en términos de$[k(\alpha):k]$$[k(\beta):k]$.
4. Pruebe a utilizar algunos Teorema Fundamental de la Teoría de Galois.

Sin embargo, todavía no tengo idea de cómo moverse en el. Alguna ayuda?

Answer 1

Ya que están Galois, sabes que $$\text{Gal}(k(\alpha,\beta)/k)\cong\text{Gal}(k(\alpha)/k)\times\text{Gal}(k(\beta)/k).$$ But then, after the identification you can see that you can produce $ [k (\alpha): k] [k (\beta): k] $ different automorphisms of $\alpha+\beta$, by acting just on $\alpha$ while fixing $\beta$ de subgrupo

$$\{1\}\times\text{Gal}(k(\beta)/k)$$

y luego aplicar automorphisms a todos esos números distintos de la $[k(\alpha):k]$ de la

$$\text{Gal}(k(\alpha)/k)\times\{1\}$$

factor. Por lo tanto, el grado de extensión que genera es por lo menos este tamaño, es decir, $[k(\alpha):k][k(\beta):k]$--pero luego

$$[k(\alpha):k][k(\beta):k]\le [k(\alpha+\beta):k]\le [k(\alpha,\beta):k]\le [k(\alpha):k][k(\beta):k]$$

para que la igualdad está en todas partes.