¿Esto es una forma válida de pensar sheafification?

Question

Todo esto se siente como debería ser válido, pero yo sólo quería tener más experiencia ojos en él en caso de que he cometido un error.

Tomar un presheaf $\mathscr{F}$ sobre un espacio topológico $X$. Con el fin de ser una gavilla, para cualquier conjunto de compatible con las funciones de $f_i \in \mathscr{F}(U_i)$, debe existir un único encolado. Así que el sheafification $\mathscr{F}^+$ $\mathscr{F}$ puede ser construido por hacer el "menos cantidad de trabajo" para hacer que esto suceda.

Intuitivamente, me siento como que esto significa, suceden dos cosas:

Primero, suponga más de un encolado de existir. Si $f$ $g$ son tanto gluings de $\{f_i\}$, no tenemos forma natural para decidir qué conservar. La cosa más fácil de hacer es comparar todos los gluings, y requieren que el$f=g$$\mathscr{F}^+$.

En segundo lugar, si un encolado para $\{f_i\}$ no existe, uno es libre contigua. Esta nueva sección no será igual a cualquier edad secciones en $\mathscr{F}$. Podemos identificar esta nueva sección con la colección de $\{f_i\}$, tal vez incluso llamando por el nombre de $[f_i]$.

Haciendo esto, necesitamos tener la comprensión de que es muy probable que otro compatible de la familia $\{g_j\}$ existen pegamentos juntos para formar la sección de la misma. Si este es el caso, se requieren $[f_i]=[g_j]$.

Pero dado que la sección no existía previamente, usted necesita una regla para saber cuando dos de estos compatible con las familias de funciones de pegamento a la misma sección. En general, serán definidas en diferentes cubiertas, y usted necesita tomar un común refinamiento $\{V_i\}$ de estas cubiertas. Empujando cada una de las $f_i$ y cada una de las $g_j$ a través de la restricción de los mapas en el abierto de conjuntos en este refinamiento, usted puede comparar directamente por la igualdad. Y si todo el derecho de las $f_i$'s y $g_j$'s son iguales,$[f_i] = [g_j]$.

Answer 1

Eso es más o menos correcto. Dividimos a cabo por la relación "de Dos secciones $f, g$ en un abrir $U\subseteq X$ son equivalentes iff hay algunos cubren $U_i \subseteq U$ tal que $f|_{U_i} = g|_{U_i}$ todos los $i$" (que resulta ser una relación de equivalencia, y para cualquier $U$, la clase $[0]$ resulta ser un subgrupo / ideal si $\mathscr F$ es un presheaf de grupos y anillos, que significa dividir por que funciona muy bien). Y nos tocan las secciones donde hay una cubierta compatible con las secciones.

Sin embargo, esa no es la forma habitual de construcción de los asociados gavilla. Por lo general permite a $\mathscr F'$ ser la gavilla dado por $U\mapsto \prod_{x \in U}\mathscr F_x$ (que es muy grande gavilla) y, a continuación, $\mathscr F^+$ está dispuesto a ser el subsheaf donde para cualquier sección de $f\in \mathscr F(U)$, hay algunos cubren $U_i \subseteq U$ y secciones $f_i \in \mathscr F(U_i)$ tal que $f|{U_i} = f_i$. En otras palabras, la subsheaf de $\mathscr F'$ que tiene algo de "local coherencia".

Por ejemplo, decir $\mathscr F$ es la presheaf $\Bbb C$ (con el estándar de la topología) de funciones analíticas (esto es en realidad una gavilla, pero no importa). A continuación, $\mathscr F'$ es la gavilla donde una sección sobre algunos abren $U$ está dado por, para cada punto, una potencia de la serie en torno a ese punto con algunos positivos radio de convergencia. La gavilla $\mathscr F^+$ es el subsheaf que consiste en aquellos tramos donde la vecina puntos de alimentación de la serie que viene de la misma analítica de la función. Vemos que estamos de vuelta con la habitual sheaf de funciones analíticas.