¿$443642_{b_1}=53818_{b_2}$ en qué base?

Question

¿Cuáles son las bases de $b_{1},b_{2}$ $443642_{b_1}=53818_{b_2}$

Lo que sería un enfoque general para este tipo de problemas, que podría reducir el tedioso manual de cálculos?

(Este problema es importante, porque podríamos tener dos fuentes desconocidas que tienen diferentes conversión inicial y debemos hacer una conjetura acerca de las bases.)

Por dos bases, ¿cuál es el rango de números/bases que es indecidible, es decir, puede perderse la base correcta? ¿Cuáles son las restricciones?

Hay un ejemplo de dos números con diferente base que no están dentro de este rango que puede tener dos o más interpretaciones, aparte de los triviales?

Answer 1

Una observación obvia aquí es que $b_1 \ge 7$ $b_2 \ge 9$ (debido a que el primer número contiene el dígito 6, y el segundo contiene el dígito 8).

Una posible solución es $b_1 = 7$$b_2 = 11$. Escribí un pequeño programa para encontrar esto.

Que yo sepa no hay ningún método general para resolver este tipo de problemas (de forma manual, sin necesidad de un ordenador). Sólo tienes que hacer algunas observaciones (probablemente número teórico), y vienen con una ingeniosa resultados que conducen a la solución. Puede haber algún método general, aunque. Simplemente no estoy consciente de uno.

Answer 2

Realmente tu problema puede ser en general muy difícil de resolver porque, en su caso particular, se tiene la siguiente ecuación de diophantine de grado 5 con dos incógnitas:

$$4x^5+4x^4+3x^3+6x^2+4x+2=5y^4+3y^3+8y^2+y+8$$

cuya solución es %#% $ de #% (en ambos lados tienes el número $$(x,y)=(b_1,b_2)=(7,11)$).

Answer 3

Se puede escribir, $443642_{b_1} = 4*b_1^5+4*b_1^4+3*b_1^3+6*b_1^2+4*b_1+2$ y $53818_{b_2} = 5*b_2^4+3*b_2^3+8*b_2^2+b_2+8$. Ahora establezca las dos expresiones. Puede que necesite otra restricción en $b_1$ y $b_2$.

Answer 4

Si sabes que una es una solución del número entero, ¿por qué no simplemente uso los ceros racionales teorema para encontrar los ceros de ambos polinomios en ambos lados de la ecuación? La lista sería bastante corta y puede encontrar rápidamente una respuesta