X, Y son variedades, y $A(X),A(Y)$ son coordinar rimg, respectivamente. Si $f:X\rightarrow Y$ es un mapa de sobreyectiva finito, que es finito para todos $f^{-1}(p)$ $p\in Y$ $A(X)$ es finitamente generado $A(Y)$-módulo??
Respuesta
¿Demasiados anuncios?No.
Tomar para $X$ la hipérbola $xy=1$ en $ \mathbb A_k^2$ ($k$ un algebraicamente cerrado de campo), para $Y$ afín a la línea de $ \mathbb A_k^1$ $f:X \to Y$ la proyección de $(x,y)\mapsto x$. Las fibras son finitos: consisten en exactamente un punto, excepto para el origen cuya fibra es vacío.
Sin embargo, el correspondiente anillo de morfismos $f^\ast :\mathcal O(Y)\to \mathcal O(Y)$ es la inclusión
$f^\ast :k[X]\to k[X,Y]/(XY-1)=k[X,X^{-1}]$, e $k[X,X^{-1}]$ es no un finitely módulo generado sobre el ring $k[X]$.
Esta es la razón por la algebraica de los geómetras no llame morfismos con finito de fibras de "finito", pero llamar "cuasi-finito" (hasta algunas técnicas como una molestia). De un número finito de morfismos $X\to Y$ está definido (en el caso de los afín variedades), por los más fuertes de la propiedad de módulo-finitud de $\mathcal O(X)$$\mathcal O(Y)$.
Edit: Una respuesta a la Sang de la real pregunta! Yo había pasado por alto que Cantó quería saber acerca de surjective morfismos con finito de fibras. La respuesta sigue siendo "no".
Voy a exponer un surjective de morfismos de variedades de $f:X \to Y$ finitos fibras cuya correspondiente anillo de morfismos $f^\ast :\mathcal O(Y)\to \mathcal O(Y)$ no es módulo-finito.
La variedad $Y$ todavía es afín a la línea de $ \mathbb A_k^1$ con coordinar $x$. En $ \mathbb A_k^2$ con coordenadas $\xi,\eta$, considere la ecuación de $\xi=\eta^2$;
define una parábola $X'$ cuyo anillo de funciones es $k[\xi, \eta]/(\xi-\eta^2)=k[x,y]=k[y]$ (desde $x=y^2$).
Ahora tome para $X$ el perforado parábola $X=X'\setminus \{P\}$ donde $P$ es, por ejemplo, el punto de $(1,1)$. Esto todavía es una variedad afín, cuyo anillo de funciones es la localizada anillo de $k[y,\frac {1}{y-1}]$
Hemos vuelto a coger para $f$ la proyección de $f:X\to Y:(x,y) \mapsto x$ : es surjective con finito de fibras, como es requerido por la Cantó.
Sin embargo, el correspondiente anillo mapa de $f^\ast: \mathcal O(Y)\to \mathcal O(X)$ es
$k[x]\to k[y,\frac {1}{y-1}]: x\mapsto y^2$
y no es de módulo finito.