Cada métrica en la traducción de la línea verdadera es invariante.

Question

¿Es cada métrica en la traducción de la línea verdadera invariante?

es decir, si $(\mathbb R,d)$ es cualquier espacio métrico, es lo cierto en general que

$d(a + x, b + x) = d(a,b)$ % todo $a,b,x \in \mathbb R.$

Por favor me ayude en la comprensión de este hecho.

Gracias de antemano.

Answer 1

Jajaja Tomemos por ejemplo $d(x,y)= |\arctan (x)-\arctan (y)|$. Muestran que esto es una distancia en la línea verdadera. ¿Es invariante por la traducción?

P.D. Nota que $d(x,y)=|f(x)-f(y)|$ es una distancia en la línea real como $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es inyectiva.

Answer 2

No. Un ejemplo visual sería imaginar la línea de $\Bbb R$ incrustado en $\Bbb R^2$ o $\Bbb R^3$ en algunas curvas manera, por ejemplo, la gráfica de $\sin(x)$, etc. Escribir $\iota:\Bbb R\rightarrow \Bbb R^n$ para esta inclusión, por ejemplo,$\iota(x)=(x,\sin(x))$.

Si ahora ver la distancia entre los puntos de la línea con respecto a este espacio de dimensiones superiores, se ve que depende de su posición real en el espacio y no sólo su distancia en la 1D-coordinar en la línea. Formalmente, tomar la métrica $d(a,b):=\|\iota(a)-\iota(b)\|$, lo cual está lejos de traducción invariante en el caso general.

Answer 3

Generalización de la respuesta de Robert Z: sea $f:\Bbb R\longrightarrow(X,\delta)$ inyectiva, $(X,\delta)$ espacio métrico. La función $$d(x,y) = \delta(f(x),f(y))$ $ será una métrica pero casi nunca será traducción invariante.