¿Cómo probar o refutar $\int_1^\infty \operatorname{arccot}(\cot(\pi x))/(\pi x^2) dx = 1 - \gamma$?

Question

Que $\gamma$ ser constante de Euler.

Según arce 13:

$$ \int_1^\infty \operatorname{arccot}(\cot(\pi x))/(\pi x^2) dx = 1 - \gamma $$

¿Cómo probar o refutar esto?

Obtener numéricamente aproximación que no es bueno en alta precisión, posiblemente debido a la inestabilidad numérica.

Answer 1

El numerador representa una curva de dientes de sierra, por lo tanto, la integral puede ser escrita como:

\begin{align*} \int_{1}^{\infty} \, \frac{\operatorname{arccot}{\cot(\pi x)}}{\pi x^2} \, dx &= \sum_{i=1}^{\infty} \int_{i}^{i+1} \, \frac{x-i}{x^2}\, dx \\ &= \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \log{(i+1)}-\log{i}-\frac{1}{i+1} \\ &= \lim_{n\to\infty} \log{(n+1)}-H_{n+1} + 1 \\ &= 1-\gamma \end{align*}

Actualización:

En general, para $b>1$ y $b \ne 2$,

$$ \int_{1}^{\infty} \, \frac{\operatorname{arccot}{\cot(\pi x)}} {\pi x ^ b} \, dx = \frac{1}{b-2}-\frac{\zeta(b-1)} {b-1} $$