Cómo encontrar el límite de: $\lim_{n\to \infty}\sum_{k=0}^n \frac{(n+1)^k}{n^{k+1}}$

Question

¿Cómo puedo encontrar este límite?

$$\lim_{n\to \infty}\sum_{k=0}^n \frac{(n+1)^k}{n^{k+1}}$$

Answer 1

Su suma es $$ \lim_{n\rightarrow \infty}1/n\sum_{k=0}^{n}(\frac{n+1}{n}) ^ k = \lim_{n\rightarrow \infty}1/n\frac{1-(\frac{n+1}{n})^{n+1}}{1-\frac{n+1}{n}} $$ solo evaluación de una serie geométrica finita, entonces simplificando \lim_{n\rightarrow \infty}1/n\frac{1-(\frac{n+1}{n})^{n+1}}{-1/n}= \lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{n+1}{n})$ ^ {n+1}-1\\ = \lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{n+1}{n}) ^ {} n + 1} -1 = e-1 $$

Answer 2

Indirecta: $$\sum_{k=0}^n \frac{(n+1)^k}{n^{k+1}} = \frac 1n\sum_{k=0}^n \left(1+\frac 1n\right)^k = \frac 1n\frac{1-\left(1+\frac 1n\right)^{n+1}}{1-\left(1+\frac 1n\right)}$ $