Convergencia de $\sum^\infty_{n=1}\arctan(\frac 1 {\sqrt n}) $ y cómo abordar las expresiones trigonométricas en sumas

Question

¿Convergen $$\sum^\infty_{n=1}\arctan\left(\frac 1 {\sqrt n}\right)$ $?

La serie probablemente diverge y probablemente debo utilizar la prueba de comparación, pero no sé qué usar.

Nota: no existe ninguna prueba integral.

Mi otra pregunta es, en general, cuando hay expresiones trigonométricas en serie, ¿cuál es el enfoque recomendado?

Answer 1

Aquí es una solución no asintótica.

Observe que % todo $x \leq 1$, $ \arctan(x) = \int_0^x \frac{dt}{1+t^2} \geq \int_0^x\frac{dt}{2} = \frac{x}{2}. $$ Por lo tanto $$ \sum_{n=1}^\infty \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \geq \frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} = + \infty. $$

Answer 2

Tenemos $$\lim_{n\to +\infty}\sqrt{n}\arctan\frac{1}{\sqrt{n}} = 1, $ $ por lo tanto la serie $$\sum_{n\geq 1}\arctan\frac{1}{\sqrt{n}}$ $ es divergente por comparación asintótica con la serie $$ \sum_{n\geq 1}\frac{1}{\sqrt{n}}$ $ que es divergente.

Para un enfoque ligeramente diferente, observe que $\arctan x$ es una función cóncava en el intervalo de $I=[0,1]$, por lo tanto cada $n\geq 1$ tenemos:

$$\arctan\frac{1}{\sqrt{n}}\geq\frac{\pi}{4\sqrt{n}}\geq\frac{\pi}{2}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)$ $ para que: $$ \sum_{n=1}^{N}\arctan\frac{1}{\sqrt{n}}\geq \frac{\pi}{2}\left(\sqrt{N+1}-1\right).$ $

Answer 3

Tienes, cuando $x \to 0$, $$ \arctan x=x+O(x^3) $$ which gives, when $n \to \infty$, $$ \arctan(\frac 1 {\sqrt n}) = \frac 1 {\sqrt n} + O (\frac 1 {n ^ {3/2}}) $$ y en comparación la serie es divergente.

Answer 4

Esto difiere de una prueba de comparación simple. $$ \sum^\infty_{n=1}\arctan\left(\frac 1 {\sqrt n}\right) \ge \sum_{n=1}^\infty \frac 1 {2\sqrt {n}} = \infty $$ porque $\arctan x\ge \dfrac x 2$ si $0\le x\le 1$.

Por lo tanto no tiene mucho que ver con el comportamiento de funciones trigonométricas generalmente.