Integración de $\int_0^1 \frac{\ln x}{x^x}\, dx.$

Question

Estoy intentando integrar esto. $$ \int_0^1 \frac{\ln x}{x^x}\, dx. $$

Gracias.

Pensaba $$ \int_0^1 \ln x \, x^{-x} \, dx=\int_0^1 \ln x\, e^{-x\ln x}\, dx=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\int_0^1 x^n \ln x (\ln x)^n\, dx=\\\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\int_0^1 x^n (\ln x)^{n+1}\,dx $$ pero ahora estoy confundido porque no puedo resolver esta integral. Sé que $$ \int_0^1 x^{-x}\, dx= \sum_{n=1}^\infty n^{-n}. $$

Answer 1

Desde $(x\ln x)'=\ln x+1$ tenemos $$x^{-x}(\ln x+1)=-(e^{-x\ln x})'.$$ Integrando ambos lados de esta identidad entre $0$ y $1$ y usando eso $$\lim_{x\rightarrow 0^+}x\ln x= \lim_{x\rightarrow1}x\ln x=0,$$ se encuentra que la integral que buscamos es igual a menos el El sueño de Sophomore constante: $$\int_0^1x^{-x}\ln x\,dx=-\int_0^1x^{-x}dx=-\sum_{n=1}^{\infty}n^{-n}.$$ Hasta ahora no se conoce ninguna expresión cerrada para esta constante.

Answer 2

Como verificación por fuerza bruta de la muy inteligente observación de O.L., y continuando el planteamiento iniciado en la pregunta, $$ \begin{align} \int_0^1\log(x)x^{-x}\,\mathrm{d}x &=\int_0^1\log(x)e^{-x\log(x)}\,\mathrm{d}x\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\int_0^1x^k\log(x)^{k+1}\,\mathrm{d}x\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\int_0^\infty e^{-(k+1)t}(-t)^{k+1}\,\mathrm{d}t\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{(k+1)^{k+2}k!}\int_0^\infty e^{-u}\,u^{k+1}\,\mathrm{d}u\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{(k+1)^{k+2}k!}(k+1)!\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{(k+1)^{k+1}}\\ \end{align} $$