Nos ha dado un limitado dominio $A\subset \mathbb{R}^n$. Hay una función $u:A\to[0,1]$ tal que $$ A' = \{x\in A:u(x) = 1\} $$ no es vacío y $u\in Lip(A)$ $\alpha$ de la tarifa. Es correcto que $\mu(\partial A') = 0$ $\mu$ ¿Dónde está medida de Lebesgue? Si no, por favor me ayude a construir un contraejemplo, si sí, por favor, ayudarme a probarlo.
Respuesta
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Cada $x$ $\mathbb{R}^n$ y cada conjunto cerrado $B\subset\mathbb{R}^n$, que $$d(x,B)=\inf\{\|x-y\|;y\in B\}.$$ Then $d(x,B) # =0$ if and only if $x$ belongs to $B$ and, for every $x$ and $y$ in $\mathbb {R} ^ n $, $% $ $|d(x,B)-d(y,B)|\le\|x-y\|.$$B\subset A$de elegir y definir la función de $u$ $A$ por $$u(x)=2^{-d(x,B)}.$$ Then $u$ is Lipschitz continuous and $A'=\{u=1\}=B$. Thus, the boundary of $A'$ puede ser el límite de cualquier conjunto cerrado. En particular, tiene medida de Lebesgue positiva.
