Inducida forma bilineal a potencias exteriores - hacia un operador global de la estrella de Hodge

Question

En todas las construcciones de la estrella de hodge operador que he visto hasta ahora había una parte donde un producto interior en el exterior de alimentación del espacio de la tangente se define por los impíos locales fórmula:

$$\langle v_1 \wedge \cdots \wedge v_k , w_1 \wedge \cdots \wedge w_k \rangle = det(\langle v_i,w_j \rangle)$$

Aunque he podido comprobar que es de hecho un producto interior tengo una terrible aversión a este ad hoc construcciones. Por lo tanto, me llevó a esta:

Dado un proyectiva (por lo tanto localmente libre) $R$-módulo de $M$ y un nondegenrate forma bilineal $g: M \times M \to R$, es decir, uno que da un isomorfismo:

$$\varphi: M \to M^* , \varphi: m \to g(-,m)$$

Por la no degeneración, $g$ se extiende, naturalmente, a$M^*$: $g(g(-,m_1),g(-,m_2))=g(m_1,m_2)$.

¿Cuál es la forma canónica para extender $g$ hacia el exterior potencias $\bigwedge^k M^*$?

Answer 1

Se necesita que la $M$ es finitely presentó además proyectiva en el fin de la dualidad funcione muy bien. El problema se reduce a la descripción de un natural degenerada de emparejamiento

$$\wedge^k M \times \wedge^k M^{\ast} \to 1$$

donde $1$ denota la unidad de módulo de $R$. Equipado con un emparejamiento, cualquier isomorfismo $M \cong M^{\ast}$ da un isomorfismo $\wedge^k M \cong \wedge^k M^{\ast}$, y podemos aplicar la natural isomorfismo $\wedge^k M^{\ast} \cong (\wedge^k M)^{\ast}$ proveniente de la anterior degenerada de emparejamiento.

De hecho, más generalmente, hay un natural de emparejamiento

$$\wedge^n M \times \wedge^k M^{\ast} \to \wedge^{n-k} M$$

de la siguiente manera: por la característica universal del exterior álgebra, derivaciones $\wedge^{\bullet} M \to \wedge^{\bullet} M$ es determinado libremente por lo que hacen a los generadores $M$. En particular, los elementos de $M^{\ast}$ están de forma natural en bijection con derivaciones de grado $-1$, y de nuevo por la característica universal del exterior álgebra, esto induce a una acción de $\wedge^{\bullet} M^{\ast}$ $\wedge^{\bullet} M$ donde $\wedge^k M^{\ast}$ hechos por "los operadores diferenciales" de grado $-k$.

Esta descripción tiene la desventaja de que no tratar a $M$ $M^{\ast}$ simétricamente. Hay otras cosas que usted puede decir, pero a mi mente es que estamos todos un poco insatisfactorio por otras razones. Un intento de escribir este mapa termina la escritura de la $k!$ veces este mapa, por razones que no entiendo muy bien. Y en característica positiva no existe un análogo natural de isomorfismo $S^k M^{\ast} \cong (S^k M)^{\ast}$ simétrico poderes. Hay algo raro en la participación de los invariantes frente coinvariants para la acción de la $S_n$ $M^{\otimes n}$ y no he ordenado en mi cabeza.