Suma de la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^3-n}$

Question

¿Estoy tratando de calcular la suma de esta serie infinita $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^3-n}.$ $ sólo sé que % $ $$\frac{1}{4n^3-n}=-\frac{1}{n}+ \frac{1}{2n+1} +\frac{1}{2n-1}.$puede ayudarme, por favor?

Gracias.

Answer 1

$$\dfrac1{4n^3-n}=-\dfrac1{2n}+\dfrac1{2n+1}+\dfrac1{2n-1}-\dfrac1{2n}$$

$$\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{4n^3-n}=\sum_{n=1}^\infty\left(-\dfrac1{2n}+\dfrac1{2n+1}+\dfrac1{2n-1}-\dfrac1{2n}\right)$$

$$=-1+2\sum_{r=1}^\infty\dfrac{(-1)^r}r=-1+2\ln(1+1)$$

Answer 2

$$\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{4n^3-n}=-\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}+\sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{2n+1} +\frac{1}{2n-1}\right)\\=-\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}+2\sum_{n=0}^{N} \frac{1}{2n+1}-1-\frac{1}{2N+1}\\= -\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}+2\sum_{n=1}^{2N+1}\frac{1}{n}-2\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n}-1-\frac{1}{2N+1}$$

Ahora uso $\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=\ln(N)+\gamma+o(1)$.

$$\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{4n^3-n}=-2\ln(N)+2\ln(2N+1)-1-\frac{1}{2N+1}+o(1)\\=2\ln\left(\frac{2N+1}{N}\right)-1-\frac{1}{2N+1}+o(1)\xrightarrow[N\rightarrow\infty]{}2\ln(2)-1$$

Answer 3

Sea $$ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^3-n}x^{2n+1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(2n-1)(2n+1)}x^{2n+1}.$ $ después $ de $$ f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(2n-1)}x^{2n}, f''(x)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}x^{2n-1}=\arctan x$ así $$ f(1)=\int_0^1\int_0^x\text{arctanh}t\; dtdx=\int_0^1\int_t^1\arctan tdxdt=\int_0^1(1-t)\text{arctanh} t\; dt=2\ln2-1. $ $

Answer 4

Ya que aún no saben acerca de la generalizada armónica de los números, esto es jus añadido para que tu curiosidad.

Estos números son útiles para definir las sumas parciales tales como $$S_p(a,b)=\sum_{n=1}^p\frac 1{an+b}=\frac 1a ({H_{p+\frac{b}{a}}-H_{\frac{b}a}})$$ and, for large values of $p$, their asymptotic expansion is $$S_p(a,b)=\frac{-H_{\frac{b}{a}}+\log \left({p}\right)+\gamma }{a}+\frac{a+2 b}{2^2 p}-\frac{a^2+6 a+b + 6 b^2}{12^3 p^2}+O\left(\frac{1}{p^3}\right)$$ So, for your case, after a shift of index as Jennifer did in the second line of her answer, we have $$T_p=S_p(2,1)+S_p(2,-1)-S(1,0)=H_{p-\frac{1}{2}}-H_p+\frac{1}{2 p+1}-1+\log (4)$$ and the expansion leads to $$T_p=\log (4)-1-\frac{1}{8 p^2}+O\left(\frac{1}{p^3}\right)$$ que muestra el límite y cómo abordarla.

Por ejemplo $$T_{10}=\frac{44831407}{116396280}\approx 0.385162$$ while the above expansion gives $$T_{10}\approx \log (4)-1-\frac{1}{800}\approx 0.385044$$