Integral de$\int x^{-x} dx$

Question

Pregunta: $\int x^{-x} dx =$?

Sugerencia: $$ e^{x\ln \frac{1}{x}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \left(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right)^n$ $

Calculo desde $\int x^{-x} dx = \int e^{x\ln \frac{1}{x}} dx$, tal vez debería encontrar la correlación entre $\int e^{x\ln \frac{1}{x}} dx$y $\int e^{-x\ln \frac{1}{x}} dx$. Pero todavía no puedo pensar en la conexión entre los dos

Utilicé WolframAlpha para resolverlo pero no muestra el proceso de

Answer 1

Me parece que debemos usar la pista y luego intercambio integral y suma (si podemos?) así que la cuestión principal sería evaluar:

$$\int x^n [\ln(\frac{1}{x})]^n dx \ \ (\text{removed the} \frac{1}{n!})$$

No estoy seguro si no me equivoco pero parece útil repetida integración por las piezas para llegar a lo que creo que debe ser:

$$ [\ln(\frac{1}{x})]^n \frac{x^{n+1}}{n+1} + [n \ln(\frac{1}{x})]^{n-1} \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + [n (n-1) \ln(\frac{1}{x})]^{n-2} \frac{x^{n+1}}{(n+1)^3} + \dots + [n! \frac{x^{n+1}}{(n+1)^n}]$$

Edit: O evaluar:

$$\int x^n [\ln(x)]^n dx \ \ (\text{removed the} \frac{(-1)^n}{n!})$$

Creo que de

$$\frac{(\ln x)^n x^{n+1}}{n+1} - \frac{(\ln x)^{n-1} (n) x^{n+2}}{(n+1)(n+2)} + ... \text{something}$$