Prueba de relación de conmutación canónicas (CCR)

Question

No estoy seguro cómo $QP-PQ =i\hbar$ donde $P$ representan impulso y $Q$ representar posición. $Q$ y $P$ matrices. La pregunta sería, ¿cómo puede $Q$ y $P$ formularse como una matriz? Además, ¿qué es la prueba de esta relación de conmutación canónicas?

Answer 1

Como Lubos ha mencionado

$QP-PQ=i\hbar$

es uno de los requisitos básicos de la mecánica cuántica. Clásicamente observables son funciones de las variables de $q$, e $p$ y el corchete de Poisson de la relación de leer

$\{q,p\}=1$ (tenga en cuenta que $\{q,p\}$ es radio sin unidades de cantidad )

En QM observables están obligados a ser hermitian operadores (para que puedan tener real de los autovalores). En particular, para la posición que tiene un operador $Q$, y para el impulso tenemos un operador $P$. Poisson soporte es reemplazado por el conmutador y requerimos

$[Q,P]=i\hbar$

En analogía con los corchetes de Poisson nos habría requerido

$[Q,P]=1$

Pero esto no es posible ya

i) ya Hemos requerido que $Q,P$ ser hermitian. Por lo $[Q,P]^\dagger=(QP-PQ)^\dagger=(QP)^\dagger-(PQ)^\dagger=PQ-QP=-[Q,P]$. Así que si requerimos $[Q,P]$ a ser una constante (es decir, constante múltiples de la matriz de Identidad) debe ser puramente imaginarias.

ii) $[Q,P]$ tiene unidades de $ML^2T^{-1}$. Usted puede ver esto al señalar que $Q$ es una posición de operador, por lo que tiene unidades de $L$, $P$ es un impulso del operador, por lo que tiene unidades de $MLT^{-1}$.

Dos opciones naturales son $[Q,P]=i\hbar$$[Q,P]=-i\hbar$. Ambos son equivalentes y la elección de $[Q,P]=i\hbar$ es sólo una convención.

No hay dos finito dimensionales de las matrices puede satisfacer $[Q,P]=i\hbar$. Esto puede ser visto por tomar traza en ambos lados. Sin embargo, esta relación puede ser satisfecha por las infinitas dimensiones de las matrices. Más explícitamente espacio vectorial a ser el espacio de funciones de $q$. Definir $Q$$Qf=qf$, e $P$$Pf=-i\hbar\partial f/\partial q$. A continuación, se puede observar que estos operadores satisfacer requiere la conmutación relación. Por otra parte, si definimos nuestro producto interior como

$(f,g)=\int f^* g\: dq$

a continuación, $Q$ $P$ se define como el anterior también será de hermitian.

Answer 2

En una representación de la matriz, $Q$ $P$ son de dimensiones infinitas matrices. (Finito-dimensional matrices de no hacer; la traza de los dos lados de la conmutación relación da un ello.)

Muchos de los posibles pares de matrices de calificar; los mejores son obtenidos al expresar la posición y el impulso de una base de autoestados del oscilador armónico. Ver
http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_mechanics#Harmonic_oscillator
De hecho, este es Heisenberg original de la representación de "mecánica de la matriz".)

El más frecuentemente utilizado posición de la representación (o impulso de la representación) se lleva a $Q$ (resp. $P$) como un operador de multiplicación en las funciones de onda dependiendo de la posición (o impulso), y $P$ (resp. $Q$) como un primer diferenciales de orden del operador elegido para que coincida con la conmutación de la relación.

Para demostrar la relación al $Q$ $P$ se dan, basta con aplicar ambos lados a una hoja de estado de vectores y comprobar que se obtiene el mismo resultado.

Answer 3

Uno puede formular las reglas más generales que determinan los conmutadores de los operadores en una teoría cuántica obtenidos a partir de una de Lagrange o de Hamilton. Sin embargo, no siempre tienen que ser algunos de los axiomas. En el más simple de los modelos de la mecánica cuántica, es legítimo decir que el $xp-px=i\hbar$ es simplemente una clave axioma de la mecánica cuántica, por lo que no puede ser derivada a partir de algo "más profundo".

El hecho de que no conmutan – que su producto depende de la orden – implica que $x,p$ no pueden ser números ordinarios. En su lugar, están los operadores: los operadores no tienen que desplazarse. Una $\hat L$ operador es algo que asigna a cada vector de $|\psi\rangle$ de un espacio – en el caso de la mecánica cuántica, el espacio de Hilbert, con el resultado de $\hat L |\psi \rangle$.

Si uno elige una base del espacio con finitely o countably muchos elementos, toda la información acerca de un operador lineal se puede expresar en términos de los elementos de la matriz de $\langle i|\hat L |j\rangle = b(j,L(i))$ y el conjunto de estas interior de productos, es decir, de elementos de la matriz es una matriz.

Esta es la foto de la física es constante, pero la consistencia tiene muchos aspectos por lo que es una pregunta abierta. En esencia, se quiere explicar por qué todo en la mecánica cuántica funciona. Bueno, sí, pero no es un 1 de la línea de prueba. La mecánica cuántica es la teoría correcta de todo, así que sería prudente esperar 1 de la línea de pruebas de su consistencia o validez. Si tienes algo más de preocupación particular o hipotético de coherencia, por favor siéntase en la actualización de su pregunta.