Es bien conocido que si $Q$ es un complejo unitario de la matriz tal que $I+Q$ es invertible (donde $I$ es la matriz de identidad), que es, $-1$ no es un autovalor de a $Q$, luego $$ A:=(I-Q)(I+P)^{-1} $$ es sesgar-Hermitian ($A=-A^*=-\bar{A}^T$).
Es fácil probar esta calculando la inversa de $$ \begin{split} A+A^*&=(I-Q)(I+Q)^{-1}+(I+Q)^{-*}(I-Q)^*\\ &=(I+Q)^{-*}[\color{blue}{(I+Q)^*(I-Q)+(I-Q)^*(I+Q)}](I+Q)^{-1}. \end{split}\etiqueta{1} $$ y mostrando que el azul término es igual a cero.
También se puede utilizar la descomposición espectral de $Q$. Hay una unitario $U$ y una diagonal $D$ tal que $Q=UDU^*$$D\bar{D}=I$. Entonces $$ UN=U(I-D)(I+D)^{-1}U^*. $$ Para cada diagonal de entrada de $\delta:=\alpha+i\beta$ $D$ donde$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$$\delta\bar\delta=\alpha^2+\beta^2=1$, la correspondiente entrada de $(I-D)(I+D)^{-1}$ es imaginario $(1-\delta)(1+\delta)^{-1}=-2i\alpha\beta$ y podemos usar el hecho de que una matriz es sesgar-Hermitian si y sólo si es unitarily similar a una matriz diagonal con el imaginario de la diagonal de entradas.
Sin embargo, el enfoque en (1) es más elementales (y, en consecuencia, elegante), ya que no requiere saber nada acerca de la descomposición espectral de unitario y skew-Hermitian matrices.
Ahora el problema viene cuando a uno le gustaría caer el supuesto de que $I+Q$ es invertible, mientras que la sustitución de la inversa con la de Moore-Penrose pseudoinverse. Entonces $$\tag{2}A:=(I-Q)(I+Q)^{\dagger}$$ (donde $\dagger$ denota la pseudoinverse) es todavía skew-Hermitian como puede ser mostrado usando la descomposición espectral. De hecho, $$ Un=U(I-D)(I+D)^{\daga}U^*, $$ y podemos volver a mostrar que las entradas de la diagonal $\delta\neq -1$ $D$ dar imaginario entradas, mientras que las entradas de la diagonal $\delta=-1$ dar $0$$(I-D)(I+D)^{\dagger}$.
Sin embargo, para mostrar esto, no es posible utilizar directamente el mismo enfoque como en (1) a partir de a $(I+Q)^{\dagger}(I+Q)\neq I$ si $-1$ es el autovalor de a $Q$. Me preguntaba si existe un más elemental forma de demostrar que (2) es sesgar-Hermitian para cualquier unitario $Q$ (sin descomposición espectral y, a ser posible, utilizando sólo los cuatro Penrose condiciones de la pseudoinverse o de algunos de sus simples consecuencias).
EDIT: puede ser que tal vez útil considerar las identidades $X^\dagger=(X^*X)^\dagger X^*=X^*(XX^*)^\dagger$, lo que dará $(I+Q)^\dagger=B(I+Q)^*=(I+Q)^*B$ donde $B:=(2I+Q+Q^*)^\dagger$ es Hermitian (las operaciones de $\dagger$ $*$ "viajar"). No sé todavía cómo obtener el resultado final (por ejemplo, la identidad de la primera le da a ese $A=-A^*$ fib $B=QBQ^*$).
