Límites definidos para factoriales negativos (es decir $(-n)!,\space n\in\mathbb{N}$)

Question

Yo apoligize si esto es un estúpido/pregunta obvia, pero anoche me preguntaba cómo se pueden calcular los límites para los factoriales de los números enteros negativos, por ejemplo, ¿cómo se evalúa:

$$\lim_{x\to-3}\frac{x!}{(2x)!}=-120$$

Ni $x!$ ni $(2x)!$ son definidos por $x\in\mathbb{Z}^{-}$, y, de hecho, ambos son singularidades de acuerdo a la gráfica de $\Gamma(x+1)$.

El libro que estoy leyendo calcula utilizando un demostrado anteriormente identidad que:

$$F\left(\left.{1-c-2n,-2n \atop c}\right|-1\right)=(-1)^{n}\frac{(2n)!}{n!}\frac{(c-1)!}{(c+n-1)!},\space\forall n\in\mathbb{Z}^{*}$$

Y luego, más en general, de Kummer de la Fórmula:

$$F\left(\left.{a,b \atop 1+b-a}\right|-1\right)=\frac{(b/2)!}{b!}(b-a)^{\underline{b/2}}$$

Luego se muestra que sólo podrían producir resultados consistentes si:

$$(-1)^{n}\frac{(2n)!}{n!}=\lim_{b\to-2n}{\frac{(b/2)!}{b!}}=\lim_{x\to-n}{\frac{x!}{(2x)!}},\space n\in\mathbb{Z}^{*}$$

Luego se da el ejemplo de $n=3$, lo que demuestra que:

$$\lim_{x\to-3}{\frac{x!}{(2x)!}}=-\frac{6!}{3!}=-120$$

Sin embargo, el uso de Wolfram|Alpha, puedo ver que existen otros límites definidos (como $\lim_{x\to-3}{\frac{x!}{(8x)!}}=-103408066955539906560000$.

Sin el uso de la hipergeométrica de la serie, ¿cómo podemos evaluar de límites, como estas?

De nuevo, lo siento si es una pregunta estúpida, gracias de antemano!

Answer 1

Uso de anon es idea de "poste", con la definición de $x! := \Gamma(x+1)$ tenemos: $$\begin{align} x! &= \Gamma(x+1) = \frac{1}{2}\;\frac{1}{x+3}+O(1)\qquad\text{as %#%#%}, \\ (2x)! &= \Gamma(2x+1) = -\frac{1}{240}\;\frac{1}{x+3} + O(1)\qquad\text{as %#%#%}, \\ \frac{x!}{(2x)!} &= \frac{1/2}{-1/240}+O(x+3)\qquad\text{as %#%#%}, \\ \frac{x!}{(2x)!} &\to -120\qquad\text{as %#%#%}. \end {Alinee el} $$

Answer 2

Desea calcular $\displaystyle \lim_{x\to -n} \frac {\Pi(x)}{\Pi(mx)}$ al$x$, cerca de un entero negativo.
$\Pi$ es el 'natural' de la extensión de la factorial : $\Pi(n)=n!$ $\Pi(z)=\Gamma(z+1)$ (ver Wikipedia)

En esta forma el "Euler reflexión de la fórmula" se convierte simplemente (por $\operatorname{sinc}(z)=\frac{\sin(\pi z)}{\pi z}$) : $$\Pi(-z)\Pi(z)=\frac 1{\operatorname{sinc}(z)}$$

$$ \lim_{x\to -n}\ \frac {\Pi(x)}{\Pi(mx)}=\lim_{x\to -n}\frac {\Pi(-mx)\operatorname{sinc}(-mx)}{\Pi(-x)\operatorname{sinc}(-x)}$$ $$ =\lim_{t\to n}\frac {\Pi(mt)\operatorname{sinc}(mt)}{\Pi(t)\operatorname{sinc}(t)}$$

Queda por demostrar que $\ \lim_{t\to n} \frac {\operatorname{sinc(mt)}}{\operatorname{sinc(t)}}=\frac {(-1)^{(m-1)n}}m$ (puede usar la regla de l'Hôpital para que) y para concluir!

Answer 3

Quiero añadir a lo anterior, que mientras que $\Gamma(-n)$ % entero positivo $n$no está definida, que $m$ ser tal un número entero, entonces el cociente $\Gamma(-n)/\Gamma(-m)$ está bien definida y la fórmula de reflexión de Euler anterior conduce a su valor es igual a $\Gamma(m+1)/\Gamma(n+1)(-1)^{n-m}$. Esto demuestra, por lo que la relación mencionada al principio de esta secuencia, efectivamente $(-3)!/(-6)!$ $-60$ y no como sugiere.