¿Cómo puedo resolver este sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden?

Question

Mi Problema es este Sistema de Ecuaciones diferenciales: $$\dot{x}=8x+18y$$ $$\dot{y}=-3x-7y$$ Estoy buscando un gerenal solución.

Mi Enfoque fue: veo que este es un Sistema lineal y ecuaciones diferenciales ordinarias. Ambos son de primer orden, debido a que la mayor derivada es la primera. Pero ahora estoy atascado, no tengo idea de cómo resolverlo. Una Transformación en la Matriz debe conducir a esta expresión: $$\overrightarrow{y}=\left( \begin{array}{cc} 8 & 18 \\ -3 & -7 \end{array} \right)\cdot x$$ o la correcta es esta: $$\overrightarrow{x}=\left( \begin{array}{cc} 8 & 18 \\ -3 & -7 \end{array} \right)\cdot y\text{ ?}$$

Pero no sé cómo determinar la solución, a partir de este punto.

Answer 1

Voy a cambiar el nombre de las variables. En lugar de $x$$y$, voy a utilizar $x_1$ $x_2$ (respectivamente).

Ahora, echemos un vistazo a el sistema:

$$\begin{cases} \dot x_1 = 8x_1+18x_2\\ \dot x_2 = -3x_1 -7x_2 \end{casos}$$

A este cambio en la forma de la matriz, podemos reescribir como $\dot {\vec x} = \mathbf A \vec x$ donde $\mathbf A$ es una matriz.

Esto se parece a: $$\underbrace{\pmatrix{\dot x_1 \\ \dot x_2}}_{\large{\dot {\vec x}}} = \underbrace{\pmatrix{8 & 18 \\ -3 & -7}}_{\large{\mathbf A}}\underbrace{\pmatrix{x_1\\x_2}}_{\large{\vec x}}$$

Para resolver el sistema, nos encontramos con los autovalores de la matriz. Estas son las $r_1 = 2$$r_2 = -1$. Dos correspondientes vectores propios se $\vec \xi_1 =\pmatrix{3 \\ -1}$$\vec \xi_2 =\pmatrix{2 \\ -1}$, respectivamente.

Ahora conecte estas en la ecuación: $$\vec{x} = c_1e^{r_1t}\vec{\xi_1}+c_2e^{r_2t}\vec{\xi_2}$$

Esto produce: $$\vec{x} = c_1e^{2t}\pmatrix{3 \\ -1}+c_2e^{-t}\pmatrix{2 \\ -1}$$

Así, sus soluciones individuales son: $$x_1 = 3c_1e^{2} + 2c_2e^{-t}\\ x_2 = -c_1e^{2} -c_2e^{-t}$$

Answer 2

Creo que quiere que esta matriz:

$$\left( \begin{array}{cc} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array}\right)=\left( \begin{array}{cc} 8 & 18 \\ -3 & -7 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array}\right),$$

y, a continuación, diagonalize el acoplamiento de la matriz para obtener ecuaciones desacopladas.

Nota, tienes algo como esto: $$\dot{X}=M\cdot X,$$ donde: $$X=\left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array}\right),\,\dot{X}=\left( \begin{array}{cc} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array}\right).$$

Entonces, si la matriz $M$ es diagonalizable (este) se puede escribir como: $$M=S\cdot D \cdot S^{-1},$$ donde $D$ es una matriz diagonal. A continuación, puede manipular la ecuación diferencial de la siguiente manera: $$\dot{X}=S\cdot D \cdot S^{-1}\cdot X,$$ $$S^{-1}\cdot\dot{X}=D \cdot S^{-1}\cdot X,$$ $$\dot{U}=D \cdot U,$$ donde $U=S^{-1}\cdot X$. Este luego le da dos desacoplado de ecuaciones diferenciales a resolver:

$$\dot{U_1}=D_1U_1.$$ $$\dot{U_2}=D_2U_2.$$