Muestran que

Question

Mostrar que $\int_0^\infty e^{-x}\cos x \ \text{d}x=\int_0^\infty e^{-x} \sin x \ \text{d}x$ usando integración por partes.

Por el lado izquierdo, tengo: $-e^{-x} \cos x-\int e^{-x} \sin x \ \text{d}x$

No sé cómo demostrar que la integral del lado derecho es igual a esto...

Answer 1

Esta es una respuesta que no utiliza la integración por partes:

$$\int_0^\infty e^{-x} e^{ix} dx = \int_0^\infty e^{-x} \cos x dx + i \int_0^\infty e^{-x} \sin x dx = {1 \over i-1} e^{(i-1)x} \big|_0^\infty = {1 \over 2} (1+i)$ $ por lo tanto, $$\int_0^\infty e^{-x} \cos x dx = \int_0^\infty e^{-x} \sin x dx = {1 \over 2}$ $

Answer 2

Integrando por partes dos veces para cada uno de los siguientes da

\begin{align} \int_0^\infty e^{-x} \cos x \, dx &=\left.-\frac 12e^{-x}(\sin x+\cos x) \right\vert_0^\infty= \frac 12 \\ \int_0^\infty e^{-x} \sin x \, dx &= \left.\frac 12e^{-x}(\sin x-\cos x) \right\vert_0^\infty = \frac 12 \end {Alinee el}

Answer 3

ps

Answer 4

No es necesario calcular la integral para demostrar que son iguales. Primero de todo, para cualquier delimitada la función$f$$[0,\infty)$, la integral $$ \int_0^\infty e^{-x}f(x)\,dx $$ converge absolutamente, porque, si $|f(x)|\le k$, $|e^{-x}f(x)|\le ke^{-x}$ y $$ \int_0^\infty e^{-x}\,dx $$ converge.

Ahora, integrando por partes, $$ \int_0^{\infty}e^{-x}\cos x\,dx= [e^{-x}\sin x]_0^{\infty}-\int_0^\infty (-e^{-x})\sin x\,dx= \int_0^\infty e^{-x}\sin x\,dx $$ porque, claramente, $$ \lim_{x\to\infty}e^{-x}\sin x=0. $$

Answer 5

en primer lugar vemos el lado izquierdo:

$$\int \:e^{-x}\cos \left(x\right)dx$ $ Ahora sustituir con $u=-x:\quad \quad du=-1dx,\:\quad \:dx=\left(-1\right)du$: así,\begin{align*} =\int \:e^u\cos \left(x\right)\left(-1\right)du \\ =\int \:-e^u\cos \left(x\right)du \\ \end{align*} sustituir: $u=-x\quad \Rightarrow \quad \:x=-u$ $$\Rightarrow =-\int \:e^u\cos \left(-u\right)du =-\int \:e^u\cos \left(u\right)du$ $$\mathrm{Apply\:Integration\:By\:Parts}:\quad \int \:uv'=uv-\int \:u'v$ $$=-\left(e^u\sin \left(u\right)-\int \:e^u\sin \left(u\right)du\right)$ $$$=-\left(e^u\sin \left(u\right)-\left(e^u\left(-\cos \left(u\right)\right)-\int \:e^u\left(-\cos \left(u\right)\right)du\right)\right)$ $$$=-\left(e^u\sin \left(u\right)-\left(-e^u\cos \left(u\right)-\int \:-e^u\cos \left(u\right)du\right)\right)$ $$\mathrm{Isolate}\:\int \cos \left(u\right)e^udu$ $$=-\frac{e^u\left(\sin \left(u\right)+\cos \left(u\right)\right)}{2}$ $$\mathrm{Substitute\:back}\:u=-x$, simplificar y añadir una constante: $$=-\frac{e^{-x}\left(\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\right)}{2}+C$ $Now calcular las cales para la $x\to\infty$:$$\lim _{x\to \infty \:}\left(-\frac{e^{-x}\left(\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\right)}{2}\right)=0$ $Now, Cales para la $x\to 0+$:$$\lim _{x\to \:0+}\left(-\frac{e^{-x}\left(\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\right)}{2}\right)=-\frac{1}{2}$ $$$\Rightarrow 0-\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$ $

Espero que usted puede hacer esto por el lado derecho :)