Un grupo de $F$ es gratuita a través de un conjunto $X$ si existe una inyección de $\sigma: X \to F$ tal que para cualquier función de $\alpha: X \to G$ a cualquier grupo de $G$ existe un único homomorphism $\phi : F \to G$ tal que $\phi \sigma = \alpha$.
Hay un ejercicio en 'Un Curso en la Teoría de los Grupos que nos pide demostrar que $ \langle Im \ \ \sigma \rangle = F$ utilizando sólo la definición categórica. Estoy muy frustrado porque el problema parece muy fácil pero que aún no han encontrado la solución. Me imagino que si dejamos $\alpha = \sigma$ debe haber algún problema con la singularidad de $\phi$. También si $\langle Im \ \ \sigma \rangle$ es normal y adecuada subgrupo de $F$, dejando $\alpha: F \to F \langle Im \ \ \sigma \rangle$ ser el cero mapa permitirá tanto el cero homomorphism en F y el estándar epimorphism a un cociente para hacer el diagrama conmuta.
