Que $f:I\to\mathbb R$ ser una función diferenciable y periódica con /minimum primerperíodo $T$ (es $T$-periódica) es decir, $f(x+T) = f(x)$ % todos $x\in I$. ¿Está claro que f $ ' = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)} {h} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+T+h) - f(x+T)} {h} = f'(x+T), $$ pero cómo probar eso $f'$ tiene el mismo primer/mínimo período de $T$? Supongo que existen $\tilde T < T$ tal que $f'(x+\tilde T) = f'(x)$ % todo $x\in I$pero no puede encontrar la manera de obtener una contradicción.
Respuestas
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A ver que pasa, simplemente integrar (utilizaré $\tilde{T}$ $T'$, ya que primer se utiliza para derivados):\begin{align*} f'(x+\tilde{T}) &= f'(x)\\ \Rightarrow \int^y f'(x+\tilde{T})\,dx &= \int^y f'(x)\,dx \\ \Rightarrow \int^{y+\tilde{T}} f'(\tilde x)\,d\tilde x &= \int^y f'(x)\,dx \\ \end{align*} donde nosotros hemos sustituido $\tilde x = x+\tilde{T}$. Así que conseguir $$ f(y+\tilde{T}) = f(y) + C $$ $C$ constante. Pero ya sabemos que $f$ es periódica, por lo que debemos tener $C = 0$. Por lo tanto, $f(y+\tilde{T}) = f(y)$, que $\tilde{T}$ es un entero múltiplo de $T$ (ya que por supuesto, $T$ es el primer período de $f$).
Jukka Dahlbom
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Una solución es tener en cuenta que $f(x)$ tiene una serie de Fourier asociada, y puesto que la derivada de una sinusoide de una frecuencia es otra sinusoide de la misma frecuencia, deducimos que la serie de Fourier de la derivada tendrá todos los mismos términos sinusoidales como el original.
Por lo tanto, el derivado debe tener la misma frecuencia que la función original.
