¿Está un proceso de Markov determinado de forma única?

Question

Dejemos que

• $E$ sea un espacio polaco y $\mathcal E$ sea el Borel $\sigma$ -álgebra en $E$
• $I\subseteq[0,\infty)$ se cierran bajo la adición y $0\in I$

Tenga en cuenta el siguiente resultado:

Dejemos que $(\kappa_t:t\in I)$ sea un semigrupo markoviano sobre $(E,\mathcal E)$ $\Rightarrow$ Hay un espacio medible $(\Omega,\mathcal A)$ y un proceso de Markov $X$ con distribuciones $(\operatorname P_x)_{x\in E}$ tal que $$\operatorname P_x\left[X_t\in B\right]=\kappa_t(x,B)\;\;\;\text{for all }x\in E,B\in\mathcal E\text{ and }t\in I\;.\tag 1$$ A la inversa, dado un proceso de Markov $X$ con distribuciones $(\operatorname P_x)_{x\in E}$ en un espacio medible $(\Omega,\mathcal A)$ un semigrupo markoviano $(\kappa_t:t\in I)$ se define por $(1)$ .

Resulta que $X$ en la primera parte del enunciado puede construirse como la familia de mapas de coordenadas en $(\Omega,\mathcal A)=(E^I,\mathcal E^{\otimes I})$ .

He visto que muchos autores asumen que los procesos de Markov son tales mapas de coordenadas. ¿Por qué pueden hacerlo?

La declaración anterior no afirma, que dado $(\Omega,\mathcal A)$ hay un único proceso de Markov, ¿es así? Sin embargo, las distribuciones de dimensión finita de $X$ es decir $$\operatorname P_x\left[X\in\;\cdot\;\right]\circ\pi_J^{-1}\;\;\;\text{for }J\subseteq I\text{ with }|J|<\infty\;,\tag 2$$ donde $\pi_J:E^I\to E^J$ son las proyecciones canónicas, están determinadas unívocamente por $(1)$ .

Quizás $(\operatorname P_x)_{x\in E}$ (no sólo las distribuciones de dimensión finita) están determinadas unívocamente por $(1)$ , si $I\subseteq \mathbb N_0$ o $I$ es al menos casi contable o cuando $E$ es casi contable.

Entonces, ¿por qué el resultado indicado nos permite pensar en $X$ como si estuvieran determinados de forma única?

Answer 1

El Teorema de extensión de Kolmogorov afirma que existe una distribución de probabilidad en $(E^I, \mathcal E^{\otimes I})$ tal que $(1)$ se mantiene.

Afirmo que esta distribución está determinada de forma única.

Hay dos maneras de ver esto, ambas apelando a la definición de $\mathcal E^{\otimes I}$ . De hecho, es el $\sigma$ -generada por conjuntos cilíndricos (equivalentemente, la menor $\sigma$ -bajo la cual cada evaluación $f\mapsto f(t)$ , $t\in I$ es medible), es decir, $$\mathcal E^{\otimes I} = \sigma(\mathcal P),\text{ where } \mathcal P = \big\{\{f:f(t_1,\dots,t_n)\in B\}, B\in \mathcal E^{\otimes n}, t_1,\dots,t_n\in I, n\ge 1\big\}.$$

Método 1. Una de las consecuencias útiles de la teoría de Dynkin $\pi$ - $\lambda$ el teorema es el siguiente hecho si dos medidas probabilísticas coinciden en un $\pi$ -sistema, entonces coinciden en el $\sigma$ -generada por este sistema. Ahora, observe que $\mathcal P$ es obviamente un $\pi$ -sistema. Por lo tanto, dos medidas que coinciden en $\mathcal P$ (= dos distribuciones de procesos que tienen las mismas distribuciones de dimensión finita) coinciden en $\sigma(\mathcal P) = \mathcal E^{\otimes I}$ .

Método 2. Una versión ligeramente ampliada de mi comentario. El $\sigma$ -Álgebra $\mathcal E^{\otimes I}$ tiene un contable descripción: $$ \mathcal E^{\otimes I} = \big\{\{f:f(t_1,t_2,\dots)\in B\}, B\in \mathcal E^{\otimes \mathbb{N}}, t_1,t_2,\dots\in I\big\}. $$ En otras palabras, cada conjunto de $\mathcal E^{\otimes I}$ se encuentra en un número contable de coordenadas de $I$ . Pero no es difícil ver (como has señalado correctamente) que para un número contable de coordenadas, la distribución es única. Por lo tanto, es única en $\mathcal E^{\otimes I}$ .