Tal vez sea una pregunta idiota. Dado un campo finito $k$ y algún polinomio irreductible $f(x) \in k[x]$ Entonces $k_f \cong k[x]/(f(x))$ ? Sé que es verdad si $k$ es el campo principal y creo que la afirmación no es cierta para los campos finitos en general, sin embargo no pude encontrar ningún contra-ejemplo.
Gracias de antemano.
Sí, esto es cierto. Básicamente es una de las reformulaciones del hecho de que todas las extensiones de campos $ \ell /k$ con ambos $ \ell $ y $k$ finito son los Galois.
Otra forma de concretar esto es que sabemos que el grupo Galois fue generado por el automorfismo de Frobenius $F(x)=x^q$ , $q=|k|$ . Así que si $ \alpha $ es una de las raíces de $f(x)$ en $k_f$ Entonces $ \alpha ^q$ , $ \alpha ^{q^2}$ , $ \alpha ^{q^3}$ , $ \ldots $ son los otros.
Es fácil ver que si $m$ es el entero positivo más pequeño con la propiedad de que $F^m( \alpha )= \alpha $ entonces el polinomio $$ (x- \alpha )(x-F( \alpha )) \cdots (x-F^{m-1}( \alpha )) $$ es invariable bajo $F$ . Por lo tanto, pertenece a $k[x]$ por lo tanto debe ser igual a $f(x)$ .
Muéstrelo para $\;f(x)=x^3-2 \in\Bbb Q[x]\;$ la extensión
$$ \Bbb Q[x]/(f(x)) \cong\Bbb Q( \sqrt [3]2)$$
no es normal (pista: ¿cuáles son las raíces de $\,f(x)\,$ ?)
Editar para el caso de los campos finitos:
Deje que $\,k:= \Bbb F_{p^n}\;,\;\;p\,$ un primer y $\,n \in\Bbb N\,$ ser un campo finito. Ahora, como con cualquier otro campo finito, sabemos $\,k\,$ es el conjunto de todas las raíces de $\,q_n(x):=x^{p^n}-x \in\Bbb F_p[x]\,$ en algún cierre algebraico del campo primario.
Deje que $\,f(x) \in k[x]\,$ ser irreducible de grado $\,m\,$ para que $\,k[x]/(f(x)) \cong k( \alpha ) \cong\Bbb F_{p^r}\,$ para algunos $\,r \in\Bbb N\,$ y $\, \alpha\ ,$ una raíz de $\,f(x)\,$
Pero entonces ambos $\,q_r(x)\,,\,f(x) \in k[x]\,$ y ambos tienen $\, \alpha\ ,$ como una raíz común, de modo que, desde $f$ es irreducible,
$$f(x)\, \mid\ ,q_r(x) \implies q_r(x)=x^{p^r}-x=f(x)g(x)\;\; \text {in}\;\;k[x]\,$$
y esto significa todos las raíces de $\,f(x)\,$ son también raíces de $\,q_r(x)\,$ lo que significa $\,f(x)\,$ se divide en $\, \Bbb F_{p^r}\,$ y hemos terminado.
De acuerdo con su comentario (mostrando normalidad), dejemos $K/ \mathbb {F}_q$ ser una extensión de campo con $|K/ \mathbb {F}_q|=d$ y $q=p^n$ . Haré uso del siguiente teorema.
Teorema. Deje que $K/F$ ser una extensión del campo. Luego $K/F$ es Galois si y sólo si $K$ es el campo de división de algún polinomio separable sobre $F$ .
Ahora $K$ es el campo de división de $x^{q^d}-x$ sobre $ \mathbb {F}_p$ (todos los campos finitos surgen como el campo de división de $x^s-x$ sobre $ \mathbb {F}_p$ donde $s$ es algún poder de $p$ ), y por lo tanto es el campo de división de $x^{q^d}-x$ sobre $ \mathbb {F}_q$ . Así que $K/ \mathbb {F}_q$ es Galois (y por lo tanto normal).
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