Voy a describir el proceso y usted puede llenar en los cálculos.
Tenemos nuestro sistema como:
$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{dy}{dx} = z \\
\frac{dz}{dx} = 6y - z
\end{array}\right.
$$
Con $y(0)=3$$z(0)=1$.
Debemos hacer los cálculos en un orden determinado, como hay dependencias entre los cálculos numéricos. Este orden es:
- $k_0 = hf(x_i,y_i,z_i)$
$l_0 = hg(x_i,y_i,z_i)$
$k_1 = hf(x_i+\frac{1}{2}h,y_i+\frac{1}{2}k_0,z_i+\frac{1}{2}l_0)$
$l_1 = hg(x_i+\frac{1}{2}h,y_i+\frac{1}{2}k_0,z_i+\frac{1}{2}l_0)$
$k_2 = hf(x_i+\frac{1}{2}h,y_i+\frac{1}{2}k_1,z_i+\frac{1}{2}l_1)$
$l_2 = hg(x_i+\frac{1}{2}h,y_i+\frac{1}{2}k_1,z_i+\frac{1}{2}l_1)$
$k_3 = hf(x_i+h,y_i+k_2,z_i+l_2)$
$l_3 = hg(x_i+h,y_i+k_2,z_i+l_2)$
$y_{i+1}=y_i + \frac{1}{6}(k_0+2k_1+2k_2+k_3)$
- $z_{i+1}=z_i + \frac{1}{6}(l_0+2l_1+2l_2+l_3)$
Típicamente se necesitan algunas entradas para el algoritmo:
- Una gama en la que se quieren hacer los cálculos sobre: $a \le t \le b$, permite el uso de $a = 0, b = 1$.
- El número de pasos $N$, decir $N = 10$.
- Los pasos que el tamaño de la $h = \dfrac{b-a}{N} = \dfrac{1}{10}$
El sistema que estamos resolviendo es:
$$ \frac{dy}{dx} = f(x,y,z) = z \\ \frac{dz}{dx}=g(x,y,z) = 6y - z$$
Haciendo los cálculos usando el orden en que por primera vez paso a $i= 0, t_0 = 0 = x_0$, se obtiene:
- $k_0 = hf(x_0,y_0,z_0) = \dfrac{1}{10}(z_0) = \dfrac{1}{10}(1) = \dfrac{1}{10}$
$l_0 = hg(x_0,y_0,z_0) = \dfrac{1}{10}(6y_0 - z_0) = \dfrac{1}{10}(6 \times 3 - 1) = \dfrac{1}{10}(17)$
$k_1 = hf(x_0+\frac{1}{2}h,y_0+\frac{1}{2}k_0,z_0+\frac{1}{2}l_0) = \dfrac{1}{10}(1 + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{10}(17)) ~~$(Por favor continuar con el calc.)
$l_1 = hg(x_0+\frac{1}{2}h,y_i+\frac{1}{2}k_0,z_0+\frac{1}{2}l_0)$
$k_2 = hf(x_0+\frac{1}{2}h,y_0+\frac{1}{2}k_1,z_0+\frac{1}{2}l_1)$
$l_2 = hg(x_0+\frac{1}{2}h,y_0+\frac{1}{2}k_1,z_0+\frac{1}{2}l_1)$
$k_3 = hf(x_0+h,y_0+k_2,z_0+l_2)$
$l_3 = hg(x_0+h,y_0+k_2,z_0+l_2)$
$y_{1}=y_0 + \frac{1}{6}(k_0+2k_1+2k_2+k_3)$
- $z_{1}=z_0 + \frac{1}{6}(l_0+2l_1+2l_2+l_3)$
Ahora tiene $x_1$ $z_1$ que se necesita para el siguiente paso de tiempo después de que todos los intermedios (en orden de nuevo). Ahora, podemos pasar al siguiente paso de tiempo $i = 1, t_1 = t_0 + h = \dfrac{1}{10} = x_1$, por lo tanto tenemos:
- $k_0 = hf(x_1,y_1,z_1) = \dfrac{1}{10}(z_1)$
$l_0 = hg(x_1,y_1,z_1) = \dfrac{1}{10}(6y_1 - z_1)$
$k_1 = hf(x_1+\frac{1}{2}h,y_1+\frac{1}{2}k_0,z_1+\frac{1}{2}l_0)$
$l_1 = hg(x_1+\frac{1}{2}h,y_1+\frac{1}{2}k_0,z_1+\frac{1}{2}l_0)$
$k_2 = hf(x_1+\frac{1}{2}h,y_1+\frac{1}{2}k_1,z_1+\frac{1}{2}l_1)$
$l_2 = hg(x_1+\frac{1}{2}h,y_1+\frac{1}{2}k_1,z_1+\frac{1}{2}l_1)$
$k_3 = hf(x_1+h,y_1+k_2,z_1+l_2)$
$l_3 = hg(x_1+h,y_1+k_2,z_1+l_2)$
$y_{2}=y_1 + \frac{1}{6}(k_0+2k_1+2k_2+k_3)$
- $z_{2}=z_1 + \frac{1}{6}(l_0+2l_1+2l_2+l_3)$
Seguir esta para $10$ pasos de tiempo. El resultado final debe coincidir estrechamente (suponiendo que el algoritmo es estable para este problema) a la solución exacta. Se comparará $z_{10}$ al resultado exacto. La solución exacta es:
$$y(x) = e^{-3 x}+2 e^{2 x}$$
Si nos encontramos con $y(1) = \dfrac{1}{e^3} + 2 e^2 = 14.8278992662291643974401973...$.
