Si $\sqrt{\frac{n+15}{n+1}}\in\mathbb Q$ entonces $n=17$

Question

¿Cómo se puede demostrar que :

Si $\sqrt{\frac{n+15}{n+1}}\in\mathbb Q$ así que $n=17$

Intenté usar el hecho de que cualquier número $a\in\mathbb Q$ así que $a=\frac{x}{y}$ tal que $\gcd(x,y)=1$

Así que $\frac{n+15}{n+1}=\frac{x^2}{y^2}$

Pero aquí estoy atascado.

Answer 1

Esencialmente, usted sabe $x^2(n+1)=y^2(n+15)$ , dejemos que $m=n+1$ por conveniencia, entonces sabe que como $x$ y $y$ son relativamente primos, $y^2 \mid m$ et $x^2\mid m+14$ . Desde $\frac{m+14}{m}=\frac{x^2}{y^2}$ entonces tenemos que $m=y^2a$ para algunos $a$ y $m+14=x^2a$ para ese mismo $a$ . Entonces $y^2a+14=x^2a$ . Entonces $14=(x^2-y^2)a$ . Ahora sólo hay unas pocas posibilidades. $x^2-y^2=1,2,7,14$ . Pero nosotros factorizamos, por lo que tenemos $(x-y)(x+y) =1,2,7,14$ . Entonces, si $(x-y)(x+y)=2k$ para un número impar $k$ tenemos que como $2$ divide exactamente uno de los factores, $(x-y)+(x+y)$ es impar, pero $x-y+x+y=2x$ , lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $x^2-y^2=7$ o $x^2-y^2=1$ . En el primer caso, no importa cómo asignemos $x+y$ y $x-y$ a $1$ y $7$ o $-1$ y $-7$ su diferencia es siempre $\pm 6$ para que $y=\pm 3$ . Pero entonces $m=3^2\cdot 2=18$ Lo cual está bien, así que ahora sólo tenemos que comprobar el otro caso, $x^2-y^2=1$ . La diferencia de los factores será siempre $0$ ya que si $(x+y)(x-y)=1$ , $x+y=x-y$ . Así, $y=0$ . Pero entonces $m=0$ , lo cual es imposible.

Por lo tanto, $m$ es siempre 18, o $n$ es siempre 17.

Answer 2

Si dejamos que $m=n+1$ la ecuación $$ \frac{m+14}{m}=\frac{x^2}{y^2} $$ equivale a $$ m=\frac{14y^2}{(x-y)(x+y)} $$ podemos suponer que $x\ge0$ y $y\gt0$ y $(x,y)=1$ . Así, $$ (x-y,x+y)\mid2\quad\text{and}\quad(x-y,y)=1\quad\text{and}\quad(x+y,y)=1 $$ Si $(x-y,x+y)=2$ entonces, como $(x-y,y)=1$ , $y$ debe ser impar y el numerador sólo tiene un factor de $2$ . Como el denominador tiene dos factores de $2$ , $m\not\in\mathbb{Z}$ . Por lo tanto, $$ (x-y,x+y)=1 $$ y como ambos $x-y$ y $x+y$ son pares o ambos son impar, ambos deben ser impar. Porque $y\gt0$ no podemos tener $x-y=x+y$ .

Por lo tanto, ya que $(x-y)(x+y)\mid7$ tenemos $$ x-y=1\quad\text{and}\quad x+y=7\quad\implies\quad x=4,y=3,\color{#C00000}{m=18} $$ o $$ x-y=-1\quad\text{and}\quad x+y=7\quad\implies\quad x=3,y=4,\color{#00A000}{m=-32} $$ o $$ x-y=-1\quad\text{and}\quad x+y=1\quad\implies\quad x=0,y=1,\color{#0000F0}{m=-14} $$ Así, $$ \begin{array}{c} \color{#C00000}{n=17}&\text{or}&\color{#00A000}{n=-33}&\text{or}&\color{#0000F0}{n=-15}\\ \color{#C00000}{\Downarrow}&&\color{#00A000}{\Downarrow}&&\color{#0000F0}{\Downarrow}\\ \color{#C00000}{\sqrt{\frac{n+15}{n+1}}=\frac43}&&\color{#00A000}{\sqrt{\frac{n+15}{n+1}}=\frac34}&&\color{#0000F0}{\sqrt{\frac{n+15}{n+1}}=0} \end{array} $$