Bounding un tiempo de golpeo esperado

Question

Considere la posibilidad de una ecuación diferencial estocástica:

$$dX_t = dW_t + \sin(X_t) dt, \, X_0 = x$$

donde $W_t$ es un proceso de Wiener. Definir

$$\tau_1 = \inf \{ t : X_t \2 \pi \mathbb{Z} \} \\ \tau_2 = \inf \left \{ t : X_t \2 \pi \mathbb{Z} \setminus \left \{ X_{\tau_1} \right \} \right \}.$$

Mi objetivo es mostrar que la $\tau_1$ $\tau_2$ ambos tienen finito expectativa; esto me permitirá resolver un problema más grande acerca de la recurrencia de uso muy estándar argumentos.

Ya que la deriva es $2 \pi$ periódico en el espacio y homogénea en el tiempo, mientras que la difusión es homogénea en el espacio y el tiempo, es suficiente para considerar las $x \in (0,2 \pi)$ para la primera parte y $X_{\tau_1}=0$ para la segunda parte. En el primer caso estaremos siempre el problema

$$\frac{1}{2} u'' + \sin(x) u' = -1, \, u(0)=u(2\pi)=0$$

tiene una solución no negativa. En el segundo caso estaremos siempre el problema

$$\frac{1}{2} u'' + \sin(x) u' = -1, \, u(-2\pi)=u(2\pi)=0$$

tiene una solución no negativa. Estas ecuaciones se pueden resolver de forma explícita por la rutina ODE técnicas, aunque de una forma cerrada solución no existe. Por ejemplo, la solución para el primer problema puede ser escrito como

$$u(x) = -2 w(x) + 2 \frac{w(2 \pi) v(x)}{v(2 \pi)}$$

donde

$$v(x) = \int_0^x e^{2 \cos(y)} dy \\ w(x) = \int_0^x \int_0^y e^{2(\cos(y)-\cos(z))} dz dy. $$

Si puedo probarlo $u \geq 0$, entonces voy a hacer. Estoy bastante seguro de que cualquier prueba de que esta $u \geq 0$ va a trabajar en el segundo. Alguna sugerencia?

Edit: una rápida numérica de verificación muestra que $u \geq 0$ hecho debe mantener.

Answer 1

Un enfoque simple (lo que evita la tarea de comprobar el nonnegativity de la función en tu pregunta) es comparar el golpear veces $\tau_1$ $\tau_2$ con el golpear de tiempo $\theta$ $\pm2\pi$ por el proceso de $$dY=\mathrm dW-\mathrm{sgn}(Y)\,\mathrm dt,$$ starting from some $|s|\leqslant2\pi$. Desde $|\sin|\leqslant1$, $\tau_1$ y $\tau_2$ están dominados estocásticamente por $\theta$, e $\theta$ a partir de cualquier $|y|\leqslant2\pi$ es estocásticamente dominado por $\theta$ a partir de $0$. Finalmente, $s(y)=E_y(\theta)$ resuelve $\frac12s''-s'=-1$ $s(\pm2\pi)=0$ $s'(0)=0$ por lo tanto, un estándar de cálculo de muestra que $$8s(x)=\mathrm e^{4\pi}-\mathrm e^{2|x|}+2(|x|-2\pi),$$ in particular, for every $x$, $$E_x(\tau_1)\leqslant E_x(\tau_2)\leqslant E_0(\theta)=\tfrac18(\mathrm e^{4\pi}-1-4\pi),$$ que es finito.