Mostrar que$Q_8$ no se puede incrustar en$M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ como un grupo.

Question

Así, supongamos que estamos trabajando en un campo de $F$. Consideremos el anillo de $M_{n \times n} (F)$, que es el conjunto de todos los $n \times n$ matrices con entradas en $F$. Es posible determinar si una matriz polinomial ecuación tiene soluciones? Si sí, es posible encontrar las soluciones para los polinomios de grado?

Mi conocimiento de las matemáticas es muy limitada como estudiante de pregrado. Estoy seguro de que hay muchos aspectos de esta cuestión que posiblemente están más allá de mi conocimiento en este nivel, pero mi interés en esta pregunta viene de este problema:

Muestran que el grupo de $Q_8 = \{ \pm 1, \pm i, \pm j,\pm k\}$ bajo la multiplicación se define en Cuaterniones no puede ser embebido en el grupo de los invertible elementos de $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ bajo la multiplicación de la matriz.

Así, debido a que la cardinalidad de a $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ es infinito, pensé que sería muy difícil tratar de grupo homomorphisms de $Q_8$ $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$y mostrar que no puede tener trivial kernel. Sobre todo porque si reemplazamos $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ el problema se convierte en falsa. Así que, he pensado que debería estudiar cuidadosamente el número de soluciones en cada grupo y encontrar algunas contradicciones. Por ejemplo, es posible demostrar que la ecuación de $A^4=I$ tiene menos de $8$ soluciones en $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$?

Answer 1

Por las respuestas anteriores, todos los elementos del orden$4$ tienen polinomio mínimo$x^2+1$, por lo que puede suponer que uno de ellos es$A = \left(\begin{array}{cc}0&1\\-1&0\end{array}\right)$.

Supongamos que$B = \left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)$ es otra matriz de orden$4$ en la imagen. Luego, a partir de la estructura de$Q_8$, tenemos$AB=-BA$, dando$b=c$, pero$B^2 = -I$ da$a^2+bc= -1$, que no es Posible en$a^2+b^2 = -1$.

Answer 2

Generalmente la forma de enfoque de la matriz de ecuaciones polinómicas (de una variable) es averiguar cuál es la mínima y/o polinomio característico de la solución de matrices sería. Tenga en cuenta que cualquier conjugado de una solución a $p(A)=0$ también es una solución, así que si hay una solución no va a ser infinitamente muchos (excepto en los casos donde las únicas soluciones son escalares). Así que usted no será capaz de mostrar que hay menos de 8 soluciones.

Si $A$ satisface $A^4 = I$, entonces el polinomio mínimo de a $A$ es un divisor de a $x^4-1$. Desde $x^4-1$ no tiene raíces repetidas, el polinomio mínimo de a $A$ es igual al polinomio característico de a $A$, que tiene grado 2. Por lo tanto, el polinomio característico es un verdadero grado 2 factor de $x^4 - 1$, por lo que debe ser $x^2-1$ o $x^2+1$. Por el Cayley-Hamilton teorema, esto es también una condición suficiente para que una matriz para satisfacer $A^4 = I$.

Así: Una condición necesaria y suficiente para que un 2 por 2 reales de la matriz $A$ a satisfacer $A^4 = I$ es que su polinomio característico es $x^2 \pm 1$. Esto es equivalente a $A$ tener traza 0 y determinante $\pm 1$, por lo que esto le da una bonita forma concreta de lo que cualquiera de dichas $A$. Creo que, a partir de aquí, usted debería ser capaz de trabajar el resto de la prueba (que no es la incrustación de cuaterniones grupo en $GL(2,\mathbb{R})$), aunque no he trabajado en los detalles.

(En la respuesta original, yo solía $A^2 = -I$ en lugar de eso, pero que se supone que -1 mapas a $-I$ en los futuros de incrustación, que no tiene por qué ser el caso.)

Answer 3

Hay muchas soluciones de $A^4=I$$GL(2,\Bbb R)$, debido a la conjugación. Sin embargo, es bastante fácil ver que uno puede, sin embargo, no incrustar $Q_8$$GL(2,\Bbb R)$. Suponiendo que se tiene una incrustación, entonces a partir de la $Q_8$ es finito, podemos encontrar una positiva definida bilineal forma que es invariante bajo todos los elementos de a $Q_8$ (este estándar promedio truco: transformar el estándar interno producto de todos los elementos de a $Q_8$ y tome su promedio). El cambio de base a una base ortogonal para esta invariante forma, obtenemos una incrustación de $Q_8$ en el grupo $O(2,\Bbb R)$ de los ortogonal $2\times 2$ matrices. Pero en $O(2,\Bbb R)$ sólo hay dos elementos de orden$~4$.

Answer 4

Supongamos que el quaternion grupo puede estar integrado en $M_2(\mathbb{R})$. Entonces es isomorfo a un subgrupo finito de $GL_2(\mathbb{R})$. Dado que todos los subgrupos finitos de $GL_2(\mathbb{R}$ tiene un fiel verdadero carácter de grado $2$, esto se podría aplicar a los cuaterniones grupo, también. Pero este no es el caso, ver aquí, una contradicción. En realidad, la pregunta ha sido respondida de forma implícita aquí: Finito Subgrupos de GL(n,R).