¿Por qué las siguientes funciones no son equivalentes?

Question

Estoy tratando de encontrar $$\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2 + 2x} - \sqrt{x^2 - 2x}.$$

Sin embargo, yo seguía recibiendo $2$ en lugar de $-2$, así que me gráficamente la función para ver lo que estaba pasando. Ver la foto de abajo.

He encontrado el problema en los pasos que tomé, y se hierve abajo de este. Para resumir mis pasos, me racionalizado de la función y, a continuación, deja fuera a $\sqrt{x^2}$ de cada término en el denominador (gráfico verde). Sin embargo tan pronto como me sqrt los $x^2$'s, tengo una función diferente? ¿Por qué? ¿Por qué es la púrpura gráfico diferente de la verde?

Answer 1

Si no le gustan los números negativos, bien, simplemente aplique un cambio de variable que los lleve a números positivos:

ps

Answer 2

Tenemos $$ \begin{align} \sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-2x} &=\frac{4x}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-2x}}\\ &=\frac{4\mathrm{sgn}(x)}{\sqrt{1+\frac2x}+\sqrt{1-\frac2x}}\\ \end {align} $$ Nota que$\frac x{|x|}=\mathrm{sgn}(x)$.