¿Una prueba geométrica de $\zeta(2)=\frac{\pi^2}6$? (y otros insumos entero para el Zeta)

Question

¿Hay una prueba geométrica conocida para este famoso problema? $$\zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty n^{-2}=\frac16\pi^2$$

Por otra parte podemos considerar posibilidades de pruebas geométricas de la siguiente identidad para positivo incluso entradas de la función Zeta: $$ \zeta(2n)=(-1)^{n+1} \frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}$ $ y la insumos negativos: $$ \zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}$ $

Answer 1

Sí, hay una prueba geométrica para $\zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty n^{-2}=\frac16\pi^2$, y, encima de eso, es una muy inusual y, en mi opinión, bella.

En su magnífico papel de "Cómo calcular $\sum \frac{1}{n^2}$ mediante la resolución de triángulos", Mikael Passare ofrece esta idea para demostrar la $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$:

Prueba de igualdad de la plaza y zonas curvas, se basa en otra foto:

Recapitulación de Passare de la prueba del uso de las fórmulas es como sigue: (para cada paso hay una justificación geométrica)

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty \frac{e^{-nx}}{n}\; dx\; = -\int_0^\infty log(1-e^{-x})\; dx\; = \frac{\pi^2}{6}$$

Answer 2

No estoy seguro de lo que significa una prueba geométrica, pero la siguiente debe ajustarse a la ley, como aquí la identidad es deducida a partir de una comparación de dos áreas: la primera área es

$\displaystyle\int_{[0,1]^2} \frac{1}{1 - xy} \frac{dx dy}{\sqrt{xy}}$

y la segunda es

$4 \displaystyle \int_{\substack{\xi, \eta>0 \\ \xi \eta \leq 1}} \frac{ d \xi \, d \eta}{(1+\xi^2)(1+\eta^2)}$;

Son iguales por un cambio de variables. Para la primera cantidad, expanda $(1-xy)^{-1}$ como una serie geométrica e integrar plazo prudente para obtener $3 \cdot \zeta(2)$. El segundo puede ser calculada a $\pi^2/2$. Esto se puede encontrar en detalle en Kontsevich y Zagier de Períodos (en la parte inferior de la página 8), donde se le atribuyen la idea de Calabi. (Usted debe ser fácilmente capaz de cazar a una identidad de $\zeta (n)$ equivalente a una integral sobre la unidad de la plaza en $\mathbb{R}^n$, como la primera de arriba. Puede ser un ejercicio divertido para ver si esta idea se puede adaptar para, incluso,$n$.)

Answer 3

Solución de Euler del problema de Basilea – la historia más larga

Usted podría mirar ese papel.