División de la secuencia exacta de grupos cuando el grupo del medio tiene un subgrupo dividido.

Question

Intento demostrar que una secuencia exacta corta de grupos abelianos se divide. Tengo una secuencia exacta corta,

$$0\rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow G \rightarrow \mathbb{Z}_2 \rightarrow 0$$

y sé que $\mathbb Z \oplus \mathbb Z_2$ es un subgrupo de $G$ . ¿Tengo una división enviando el generador de $\mathbb Z_2$ al generador de $\mathbb Z_2$ en $G$ ?

Answer 1

Si tiene una secuencia $$0 \to F \to G \to H \to 0$$ entonces $H$ es un cociente de $G$ . En general, no habrá ningún mapa $H \to G$ dando una sección de $G\to H$ . Sin embargo, si esa sección existe, entonces la secuencia está efectivamente dividida por la derecha (por definición), y por tanto dividida. Lo importante no es sólo la existencia de una inyección $H\to G$ pero la existencia de uno que es una sección al mapa dado $G\to H$ .

En su caso, ya que $G$ contiene un elemento $\epsilon$ de orden $2$ hay una única inyección $H\to G$ tomando el generador de $H$ a $\epsilon$ . Así que la pregunta es: ¿es esta inyección necesariamente una sección de $G \to H$ ? En otras palabras, ¿se $G\to H$ necesariamente el mapa $\epsilon$ al generador de $H$ ? Bueno, si no lo hace, entonces $\epsilon$ está en el núcleo, por lo tanto en la imagen de $\mathbf Z$ . Pero $\mathbf Z$ no tiene ningún elemento de orden finito. Por lo tanto, el mapa que ha descrito es necesariamente una sección, y la secuencia se divide.