Demostrar la identidad de la velocidad espacial - teoría de los tornillos

Question

Esta cuestión implica una prueba relativa a las transformaciones de coordenadas de las velocidades de los movimientos de los tornillos. Se trata de una prueba extraída de "A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation" (el texto está disponible gratuitamente aquí: http://www.cds.caltech.edu/~murray/books/MLS/pdf/mls94-complete.pdf )

La identidad se muestra a continuación, y está en la página 59 del enlace anterior. Aquí está la imagen:

Sé cómo conseguir $V_{a,c}^c$ (con respecto al marco c). Esto viene directamente de la regla de la cadena, cambiando el orden de $\dot{g}$ y $g^{-1}$ . Pero no sé cómo conseguir $V_{a,c}^b$ (con respecto al marco b), es decir, el lado izquierdo.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

La prueba de 2.15 es más o menos la misma que la prueba de 2.14 tal y como se ha expuesto.

Empecemos con la definición de $V_{ac}^b$ $$ V^b_{ac} = g^{-1}_{ac}\dot g_{ac} $$ Ahora sustituye $g_{ac} = g_{ab}g_{bc}$ y $g^{-1}_{ac}= g^{-1}_{bc}g^{-1}_{ab}$ . \begin{align} V^b_{ac} &= g^{-1}_{bc}g^{-1}_{ab} \dot{\overline{ g_{ab}g_{bc}}} \\ &= g^{-1}_{bc}g^{-1}_{ab} \left( \dot g_{ab}g_{bc} + g_{ab}\dot g_{bc}\right) \\ &= g^{-1}_{bc}\left(g^{-1}_{ab} \dot g_{ab}\right)g_{bc} + g^{-1}_{bc} \dot g_{bc} \\ &= Ad_{g^{-1}_{bc}} V^b_{ab} + V^b_{bc} \end{align}

Espero que quede claro.

(Por si acaso: La notación de sobrepunto significa $\dot{\overline{ g_{ab}g_{bc}}}= \frac{d}{dt}\left(g_{ab}g_{bc}\right)$ . La barra es útil para indicar lo que hay que diferenciar, sólo el punto sería confuso).

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En el texto no se da ningún significado al símbolo $V^c$ pero sólo a $V^b$ (velocidad en el marco del cuerpo) y $V^s$ (velocidad en el marco global).

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Intentaré explicar cómo pensar en los movimientos de los tornillos y cuál es la diferencia entre . Podemos explicar esto muy fácilmente con rotaciones .

Tengamos dos marcos de coordenadas $A,B \in SO(3)$ . El el más rápido manera de transformar $A$ a $B$ es por rotación $g_{ab}$ alrededor de algunos gran círculo . Puede que le resulte familiar slerp Así es como se calcula esta rotación. La velocidad es simplemente un vector perpendicular a ese gran círculo. Puedes expresarlo en el marco espacial (mundo) o en el marco de rotación (cuerpo), que está girando desde el marco $A$ al marco $B$ . Lo que es bastante peculiar es que cuando se expresa la velocidad en el marco del cuerpo, que se está moviendo, las coordenadas de la velocidad siguen siendo las mismas. De hecho, sólo los vectores paralelos al vector velocidad tienen coordenadas constantes en el marco del cuerpo. Todos los demás vectores, no paralelos a la velocidad, expresados en el marco del cuerpo cambian en el tiempo.

Las rotaciones alrededor de los grandes círculos son iguales a las $SO(3)$ como los movimientos de los tornillos a la $SE(3)$ . Los movimientos de los tornillos son una generalización de los anteriores, de modo que, además de cambiar la orientación, también se puede cambiar la posición.